2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пузырёк.
Сообщение09.05.2011, 23:16 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
В воде находится воздушный шарик некоторого определённого радиуса. Давление воды зафиксировано. Температура постоянна. Гравитации нет. Газ идеальный.
Пусть теперь в центр пузырька помещается точечный заряд (в электропроводной воде поля нет).
Требуется получить уравнение, связывающее отношение нового радиуса шарика к первоначальному - и отношение плотности энергии поля у границы шарика к давлению воды. Найти предельную величину плотности энергии, при которой шарик ещё не схлопывается (т. е. существует конечное решение в предположении идеальности газа).

 Профиль  
                  
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение10.05.2011, 11:46 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Радиус пузырька определяется уравнением
$$
r^4\left(\frac{1}{r^3}-\frac{1}{r_0^3}\right)=\frac{q^2}{6\nu RT}.
$$
Максимальный заряд
$$
q_{max}^2=\frac{9}{2^{5/3}}\nu RTr_0.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 13:58 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
У меня решение такое. Дополнительное давление, создаваемое эл. полем, численно равно плотности энергии этого поля, то есть $p_e=\epsilon$.
$$p=p_0+p_e; \quad p_e=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2};$$
$$ E=\frac{q}{4\pi \epsilon_0R^2}$$
Без заряда имеем уравнение состояния: $$p_0V_0=\nu RT$$
Отсюда $$\frac{p_0V_0}{V}=p_0+\frac{\varepsilon_0 E^2}{2};$$
$$\left(\frac {r_0}r \right)^3=1+\frac{\varepsilon_0 E^2}{2p_0}$$
$$\left(\frac {r_0}r \right)^3=1+\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2p_0} \left(\frac{r_0}r \right)^4$$
Или иначе $$s^3=1+\frac{\epsilon_0}{p_0}s^4$$
где $$s=\frac{r_0}r; \quad \epsilon_0=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}2$$
Пороговое значение плотности энергии эл. поля достигается тогда, когда производные по параметру $s=r_0/r$ слева и справа
сравниваются при $s=1$, то есть при выполнении равенства $$\frac{\epsilon_0}{p_0}=\frac 34$$
То есть у меня получается так, что определяющим параметром оказывается отношение плотности энергии к давлению жидкости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 18:00 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Поскольку наши ответы не совсем совпадают, приведу свое решение. Пусть давление воды $P_0$, давление насышенного пара при данной температуре $P_n$, давление воздуха в пузырьке до и после введение заряда $P_1$ и $P_2$ соответственно. Тогда
$$
P_n+P_1=P_0,\quad P_n+P_2=P_0+P_e
$$
где $$P_e=\frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0r^4_2}$$ дополнительное давление поля (в СИ, также как и у вас). Вычитая, находим
$$
P_2-P_1=P_e
$$
Далее,
$$
P_1V_1=P_2V_2=\nu RT, \quad V_i=4\pi r_i^3/3.
$$
Из этого уравения находим $P_1$, $P_2$ и подставляем в предудущее выражение. После преобразований, получаем
$$
r^4_2\left(\frac{1}{r_2^3}-\frac{1}{r_1^3}\right)=\frac{q^2}{24\pi\nu\varepsilon_0RT}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В реальном пузырьке большую роль играют испарение воды в объём пузырька и растворение воздуха из пузырька в окружающей воде. Впрочем, вряд ли вас это интересует, если вы обсуждаете такие нереалистичные плотности энергии ($1\text{ атм}\times c^2=10^{22}\text{ Дж}/\text{м}^3$ даёт $10^{16}\text{ В}/\text{м}$). При таких полях и пробой воздуха давно наступит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 19:20 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Munin, не будьте занудой, это вам не к лицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 20:19 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Всё ему к лицу))..
Я попытался выразить ваш результат через плотность и давление - и, похоже, всё сходится, чуть ли не вплоть до всех коэффициентов! Меня всегда как-то в транс вводят ситуации, на первый взгляд сложные - и вдруг разрешающиеся через какую-нибудь пару параметров. Кроме того, любопытно показалось, что своеобразный коллапс (ну ладно, пусть хотя бы теоретически) может быть в классической области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тогда можно было рассмотреть и просто падение заряженной сферической оболочки на центральный заряд... Кстати, раз вам такая задача нравится, ещё можно найти энергию, излучаемую электромагнитными волнами, и звуковыми. И скорость в конце коллапса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 22:21 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Видимо, электромагнитного излучения не будет - при условии абсолютной симметрии задачи. Зато звук, конечно, возникнет, наверное типа ударной волны. Но, увы-увы, тут моей грамотности совершенно не достаточно..
Впрочем, нет - мгновенного щелчка может и не произойти. Ведь в таком случае задача уже явно перестаёт быть квазистационарной - это будет приблизительно адиабата с нагревом газа. Видимо, характер процесса определится величиной $\gamma=1+2/i$.
Тут уже надо считать..до некоторого порога $\gamma_0$ шарик, думается, почти мгновенно схлопывается, а после него - будет постепенное сжатие, по мере отдачи тепла в пространство.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group