2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение02.05.2011, 11:58 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Может ли этот интеграл быть отрицательным при соответствующем выборе действительной функции f(x)?
$$ \int\limits_G \int\limits_G \frac{f
(x)f(y)}{ \left| {x - y} \right|} dxdy $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение03.05.2011, 18:36 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Возвращено из карантина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение03.05.2011, 19:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
1) Существует ли интеграл? Например, возьмите $G = [0;1], f(x)=1$. Легко увидеть, что в этом случае интеграл расходится.
Приведите пример, когда этот интеграл существует, не считая $f(x)=0$ во всей области, и тогда можно будет обсудить его знак.

2) Область у Вас одномерная или многомерная? $x$ и $y$ -- числа или векторы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение03.05.2011, 21:24 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Область G - трехмерная; x и y - трехмерные векторы.
Для простоты область можно считать трехмерным шаром.
Интеграл существует для любых $f \in L_2 (G)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение03.05.2011, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Если бы был способ получить минус, электроны в атоме его бы уже нашли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение03.05.2011, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
ИСН, браво. Вы зрите в корень.

Комментарий.
Пусть $f(x)$ -- плотность заряда.
$\frac 1 {|x-y|}$ -- потенциал в точке $x$ единичного точечного заряда, расположенного в точке $y$.
В таком случае $\int \limits_G \frac {f(y)dy} {|x-y|}$ -- полный потенциал в точке $x$.
Весь двойной интеграл -- энергия системы.

Этот интеграл несложными выкладками приводится к виду $\int\limits_G \mathbf E(x)\cdot \mathbf E(x) dx$ (с точностью до константы), под интегралом -- квадрат вектора электрического поля. Ясно, что отрицательным он быть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение03.05.2011, 23:05 


10/02/11
6786
svv в сообщении #441427 писал(а):
Весь двойной интеграл -- энергия системы.

Этот интеграл несложными выкладками приводится к виду $\int\limits_G \mathbf E(x)\cdot \mathbf E(x) dx$ (с точностью до константы),

а посмотреть на эти выкладки можно? И что зеачит "с точностью до константы" ? Адитивная константа Ваше доказательство попортит, если дополнительных рассждений не проводить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение03.05.2011, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
До мультипликативной константы (возможно, равной 1) -- извините, что не уточнил.
Плюс интеграл по бесконечной сфере -- он стремится к нулю, если область такая, как у DLL.
Заметил у себя ошибку -- интеграл от $E^2$ будет по всему пространству, а не по $G$.
Если нужно подробнее -- напишу позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение04.05.2011, 07:15 


10/02/11
6786
svv в сообщении #441456 писал(а):
Заметил у себя ошибку -- интеграл от $E^2$ будет по всему пространству, а не по $G$.

Вот об этом я и говорил, если решать задачу именно в G то должен быть еще интеграл по границе -- адитивная постоянная
svv в сообщении #441456 писал(а):
Плюс интеграл по бесконечной сфере -- он стремится к нулю, если область такая, как у DLL.

И область, кстати, может быть любой. Надо просто продолжить $f$ нулем во все $\mathbb{R}^3$ и писать интегралы по $\mathbb{R}^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение04.05.2011, 10:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Формально. $\int\limits_{\mathbb R^3}\int\limits_{\mathbb R^3}\dfrac{f(x)f(y)}{|x-y|}\,dx\,dy=4\pi\,(Bf,f)$,где оператор $B$ -- обратный к минус оператору Лапласа во всём пространстве, а оператор Лапласа отрицателен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение04.05.2011, 15:18 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #441548 писал(а):
Формально. $\int\limits_{\mathbb R^3}\int\limits_{\mathbb R^3}\dfrac{f(x)f(y)}{|x-y|}\,dx\,dy=4\pi\,(Bf,f)$,где оператор $B$ -- обратный к минус оператору Лапласа во всём пространстве

Для решения этой задачи совсем не нужно знать имеет оператор Лапласа обратный или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение04.05.2011, 15:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #441640 писал(а):
не нужно знать имеет оператор Лапласа обратный или нет.

ну куда ж ему деваться, коли он откровенно-таки имеет

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение05.05.2011, 10:15 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Хорошо - один из методов доказательства положительности через обратный к оператору Лапласа. Есть другие методы? Может какой-нибудь более прямой способ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение05.05.2011, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Я исхожу из того, что $G$ конечна, как Вы и сказали.
В области $\mathbb{R}^3 \setminus G$ доопределяем $f$ нулём.
Рассмотрим в качестве новой области шар $B(r)$ с центром в нуле такого радиуса $r$, чтобы $G$ была внутри шара. Ясно, что интеграл по $B(r)$ будет тем же, что и по $G$.
Пусть$$u(x)=\int \limits_{B(r)} \frac {f(y)dy} {|x-y|}$$Доказываем или опираемся как на известный факт, что тогда $\Delta u(x)=-4\pi f(x)$.

Поэтому исходный интеграл $I$ можно записать в виде:$$I=\int\limits_{B(r)} f(x) \int\limits_{B(r)} \frac{f(y)dy}{|x - y|}\;\; dx = \int\limits_{B(r)} f(x)\; u(x)\; dx = -\frac 1 {4\pi} \int\limits_{B(r)} u(x) \; \Delta u(x) \; dx$$
Начиная с этого места, вместо $dx$ будем писать $dV$. Используем первую формулу Грина: $\int\limits_V (\varphi \Delta \psi + \nabla \varphi \cdot \nabla \psi)\,dV = \oint\limits_S \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} \,dS$, в которой положим $\varphi=\psi=u$:
$$4\pi I=\int\limits_{B(r)} \nabla u \cdot \nabla u \;dV  - \oint \limits_{S(r)} u \frac{\partial u}{\partial r} \;dS$$
Устремим $r$ к бесконечности, получим:$$4\pi I=\int\limits_{\mathbb{R}^3} \nabla u \cdot \nabla u \;dV  - \lim\limits_{r \to \infty} \oint \limits_{S(r)} u \frac{\partial u}{\partial r} \;dS$$
Первый интеграл, очевидно, неотрицательный, а второй -- надо доказать, что стремится к нулю при $r \to \infty$. Нестрого: $u$ ведет себя на бесконечности как $r^{-1}$, $u_r$ -- как $r^{-2}$, их произведение -- как $r^{-3}$, в то время как площадь сферы растет только как $r^2$, поэтому все должно получиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли этот интеграл быть отрицательным?
Сообщение05.05.2011, 14:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну Вы просто по ходу дела зачем-то доказали ещё раз отрицательность оператора Лапласа. Хотя доказывается это существенно проще. На любой гладкой финитной функции $$(\Delta u,u)=\int\limits_{\mathbb R^3}\Delta u\cdot u\,dx=-\int\limits_{\mathbb R^3}|\nabla u|^2dx>0$$ (поверхностный интеграл исчезает просто в силу финитности). Этого достаточно, чтобы сделать вывод об отрицательности оператора в целом, поскольку гладкие финитные функции плотны в области определения оператора Лапласа (строгой отрицательности, т.к. иначе этот оператор во всём пространстве имел бы нулевое собственное число, а это явно неправда).

Интегральный оператор является (с точностью до $4\pi$) минус обратным к лапласиану. При этом образ лапласиана содержит как минимум все гладкие финитные функции и, значит, как минимум на таких функциях тот интеграл положителен. На негладкие финитные (в т.ч. разрывные) функции неотрицательность распространяется предельным переходом под знаком интеграла (правда, за строгую положительность придётся побороться дополнительно).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group