2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ещё на толщину стержня должны быть какие-то гидродинамические ограничения, а то он будет жидкость перемешивать в окрестности своих концов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 17:56 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Munin в сообщении #440327 писал(а):
какие-то гидродинамические ограничения

Ну да..в идеале - это игла постоянного диаметра, стремящегося к нулю)). Чтобы оправдывать пренебрежение движениями жидкости. Кстати, уверен - тут постоянство диаметра физически и не требуется; ну просто положил так, чтобы математически легче выводилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение01.05.2011, 01:53 


14/04/11
521
ewert в сообщении #440259 писал(а):
И, кстати, откуда Вы там двойку-то выковыряли?...
Да двойки там нет. я в потенциале на неё ошибся. В том решении я считал, что плотность жидкости не меняется поперек стержня сильно

ewert в сообщении #440259 писал(а):
$\dfrac{dF}{dy}=mg\dfrac{\rho'_{\text{ср}}(y)}{\rho_{\text{ср}}}$
почему? Докажите это, пожалуйста или дайте ссылку, я не понимаю откуда это.
Пусть, например стержень- просто прямоугольный брусок с постоянной плотностью и с размерами l x h x r
по моему при конечной толщине стержня $F(Y_c)=g l h\int_{Y_c-r/2}^{Y_c+r/2}(\rho (y)-\rho_0)dy$где $Y_c$ -координата центра стержня. r-размер вдоль поля тяжести. Если взять производную по $Y_c$ в точке равновесия получится ($F'(0)=gh l(\rho (r/2)-\rho(-r/2))$) как тут говорить о среднем, если зависит величина только от значений по краям? Где я ошибся?

-- Вс май 01, 2011 03:23:55 --

dovlato в сообщении #440315 писал(а):
$$\frac{d^2y}{dt^2}+g-\frac{g}{l\rho_0}\int\limits_{y-l/2}^{y+l/2}\rho(y+h)dh=0$$
У вас y - центр стержня, а h значит глубина. Наверное вы имели ввиду интегрирование по плотности стержня, но где тогда плотность жидкости? По-моему правильно так

$F(Y_c)=g l h\int_{Y_c-r/2}^{Y_c+r/2}(\rho (y)-\rho_0(y-Y_c))dy$где $Y_c$ -координата центра стержня. Обозначения из того что я написал до этого, чтолько теперь плотность бруска может менятся вдоль поля тяжести.$ \rho(y)_0 $- плотность стержня считая, что$ \rho(0)_0$ это его центр., а вычитание $Y_c$ нужно чтобы его сместить на соответствующую глубину.

Прежде чем решать это дальше жду ваших комментариев.

А если предпологать, что стержень бесконечно узкий, не проще просто считать что плотность жидкости не меняется быстро поперек стержня и решать как я в первом сообщении предложил?(только без двойки, её там нет =) )

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение01.05.2011, 10:58 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Morkonwen в сообщении #440520 писал(а):
У вас y - центр стержня, а h значит глубина.


Здесь $h$- переменная интегрирования вдоль стержня длиной $l$; $\rho_0$ - средняя плотность стержня, $\rho(y+h)$- плотность жидкости, меняющаяся по вертикали, т.е. вдоль стержня. Вообще-то интеграл отображает, ес-нно, выталкивающую силу, а всё уравнение выведено исходя из 2го закона Ньютона. С самим уравнением у меня особых сомнений нет, а вот остальные выкладки неплохо бы проверить. Явного криминала как будто нет: с размерностью всё в порядке, и знаки такие, что происходят именно колебания, а не улёт в космос.. Мотивы вывода уравнения - возникшие дискуссии, после которых мне уже захотелось для самого себя разобрать более общий случай, в частности - насколько здесь существенно требование постоянства верт. градиента. Как я и ожидал - нет, не существенно; достаточно, чтобы оный не особо значимо менялся на длине стержня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение01.05.2011, 14:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Хм. Интегралы какие-то...

Всё гораздо банальнее. Пусть сечение бруска $\Delta S$, нижний и верхний край находятся на уровнях $y=a$ и $y=b$ соответственно и мы утапливаем брус на малую величину $\Delta y$ от положения равновесия. Возвращающая сила $\Delta F$, т.е. разность выталкивающих сил после и до смещения -- это разность между весом воды, дополнительно вытесненной нижним концом и весом воды, занявшей освободившееся место сверху. (Я не буду обращать особого внимания на знаки, поскольку со знаками и так всё ясно). Т.е. $\Delta F=\rho(b)\,g\,\Delta S\,\Delta y-\rho(a)\,g\,\Delta S\,\Delta y$. Соответственно, "коэффициент упругости"

$k\equiv\dfrac{\Delta F}{\Delta y}=g\,\Delta S\,\big(\rho(b)-\rho(a)\big)=g\cdot\Delta S\,(b-a)\cdot\dfrac{\rho(b)-\rho(a)}{b-a}=g\cdot\dfrac{m}{\rho_0}\cdot\rho'_{\text{ср.}},$

где $m$ -- масса бруска, $\rho_0$ -- его средняя плотность (равная средней по объёму бруска плотности вытесненной воды) и под средним градиентом понимается $\rho'_{\text{ср.}}\equiv\dfrac{1}{b-a}\int\limits_a^b\rho'(y)\,dy$. Значит, $\omega^2=\dfrac{k}{m}=g\,\dfrac{\rho'_{\text{ср.}}}{\rho_0}$, вот и всё.

Для тела произвольной формы всё, в принципе, то же самое: надо разбить его на бруски, и получится в числителе средний по всему объёму градиент.

-- Вс май 01, 2011 15:42:23 --

Munin в сообщении #440327 писал(а):
Ещё на толщину стержня должны быть какие-то гидродинамические ограничения, а то он будет жидкость перемешивать в окрестности своих концов.

Это-то при малых колебаниях не важно, что будет перемешивать, хуже другое. В боевых условиях относительные перепады концентраций малы, т.е. возвращающая сила много меньше веса тела и, соответственно, существенно меньше вязкого трения. А тогда и никаких колебаний не будет, а будут просто две экспоненты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение01.05.2011, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #440611 писал(а):
Это-то при малых колебаниях не важно, что будет перемешивать, хуже другое.

Не сказано, что они малы, вместо этого сказано, что градиент постоянен.

ewert в сообщении #440611 писал(а):
В боевых условиях относительные перепады концентраций малы, т.е. возвращающая сила много меньше веса тела и, соответственно, существенно меньше вязкого трения.

Для подводной лодки тоже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение01.05.2011, 16:35 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
ewert в сообщении #440611 писал(а):
Для тела произвольной формы всё, в принципе, то же самое: надо разбить его на бруски

Согласен. Градиент только - по модулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение01.05.2011, 16:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #440619 писал(а):
Для подводной лодки тоже?

В особенности. Там перепады градиента -- доли процента,сила же сопротивления, не важно, чем обусловленные -- вовсе не малы по сравнению с весом, тем более в поперечном направлении. В качестве прикидки: каков декремент затухания килевой качки в полупогруженном состоянии?... Боюсь, что не слишком маленький.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение01.05.2011, 17:19 


14/04/11
521
ewert в сообщении #440611 писал(а):
Хм.

$k\equiv\dfrac{\Delta F}{\Delta y}=g\,\Delta S\,\big(\rho(b)-\rho(a)\big)=g\cdot\Delta S\,(b-a)\cdot\dfrac{\rho(b)-\rho(a)}{b-a}=g\cdot\dfrac{m}{\rho_0}\cdot\rho'_{\text{ср.}},$

Вы написали просто определение производной при малых размерах! Зачем переписывать его через среднее, что сбивает с толку и не нужно? При неоднородном бруске нужен тот интеграл, чтобы показать что добавится еще один член(он может и к нулю стремиться, надо проверить будет позже)

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение01.05.2011, 22:49 


14/04/11
521
dovlato в сообщении #440315 писал(а):
$$\frac{d^2y}{dt^2}+g-\frac{g}{l\rho_0}\int\limits_{y-l/2}^{y+l/2}\rho(y+h)dh=0$$
АА, все понял. Тогда y в $\rho(y+h)$ лишнее, согласитесь=) вы же интегрируете получается кусочек функции плотности. центр этого кусочка в точке y, тогда сдвигать ничего не надо, а пределы такие какие должны быть. Если вы разлагаете подинтегральную функцию возле точки y, то уже тогда там надо её писать. а величина при второй производной по y должна стоять третья степень $l$, вы же интегрируете. так что она третьей степени малости . остальное все вроде правильно, но если с интегралами, то у меня вариант тоже ничего =)

Лучшее решение все равно у ewert
, оно самое физичное и интегралов вообще не использует. Единственное, я убежден, что там должна быть просто производная, а не загадочная "средняя производная" =) Тогда все наши ответы совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение02.05.2011, 00:47 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Morkonwen в сообщении #440734 писал(а):
Тогда y в $\rho(y+h)$ лишнее,

Я просто забыл убрать игрек из нижнего и верхнего пределов интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение02.05.2011, 07:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Morkonwen в сообщении #440670 писал(а):
Вы написали просто определение производной при малых размерах! Зачем переписывать его через среднее,

Если речь про плотности -- то там никакое не определение производной и длина бруска вовсе не мала. А интерпретация той дроби как среднего значения -- просто потому, что ответ заказывался именно в терминах градиента.

Morkonwen в сообщении #440670 писал(а):
При неоднородном бруске

Неоднородность бруска не имеет решительного никакого значения: поскольку бруску по каким-то причинам разрешено двигаться лишь вертикально -- воде нет никакого дела, что там у него внутри, ей интересна только полная его масса. Ну разве что именно благодаря неоднородности он и не будет опрокидываться; так или иначе, к поставленному вопросу это отношения не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение02.05.2011, 11:24 


14/04/11
521
ewert в сообщении #440778 писал(а):
Неоднородность бруска не имеет решительного никакого значения
Ваша правда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group