2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение30.04.2011, 22:36 


25/10/09
832
Проверить - являются ли прямые скрещивающимися и если да, то найти расстояние между ними.

Первая задана параметрически
Вторая как пересечение плоскостей.
Для определенности

$$\begin{cases}
 x=x_0+\alpha t\\
 y=y_0+\beta t\\
 z=z_0+\gamma t\\
 \end{cases}$$

$$\begin{cases}
 A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\
 A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\
 \end{cases}$$

Есть идея --- параметрическое задание прямой подставить в уравнение одной из плоскостей, пересечением которых задана вторая прямая и найти $t$, а затем его подставить в параметричекие уравнения. Так мы найдем точку пересечения параметрической прямой и плоскости. ТОлько зачем?!
А потом подставить в параметрическое уравнение первой прямой

$$ A_1(x_0+\alpha t)+B_1(y_0+\beta t)+C_1(z_0+\gamma t)+D_1=0$$

$$A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1+(A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma)t=0$$

$$t=-\dfrac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}$$

$$\begin{cases}
 x=x_0-\alpha \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\
 y=y_0-\beta \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\
 z=z_0-\gamma \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\
 \end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение30.04.2011, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
А Вы можете сформулировать, что такое скрещивающиеся прямые?

Для определенности может быть сделаете в уравнениях плоскостей разные коэффициенты.
:-)

-- Сб апр 30, 2011 23:41:55 --

Найдите точки пересечения прямой, заданной параметрически, с каждой из плоскостей, задающих вторую прямую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение30.04.2011, 23:52 


25/10/09
832
Скрещивающиеся прямые -- прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости!!!

Т.е. если эти точки пересечения совпадают, то прямые пересекаются?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 00:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
Нет. Если эти две точки совпадают, то у Вас и плоскости тоже совпадают.
Смысл вот в чем. Если одна прямая лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей первой прямой, то прямые - скрещивающиеся.

Найдите точку пересечения первой прямой с одной из плоскостей.

Тут могут быть варианты: 1 точка, ни одной точки и бесконечно много точек.

Попробуйте домыслить дальше.

(домыслил сам)

Если точек пересечения нет, то прямая параллельна плоскости, а значит заданные прямые скрещивающиеся. Если точек пересечения бесконечно много, то прямая лежит в плоскости, а значит заданные прямые либо параллельны, либо пересекаются.
Если точка пересечения одна, то тоже самое необходимо проделать со вторым уравнением плоскости.
Дальше точно сами подумайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 00:19 
Заблокирован


07/02/11

867
integral2009 в сообщении #440473 писал(а):
Проверить - являются ли прямые скрещивающимися и если да, то найти расстояние между ними.

Первая задана параметрически
Вторая как пересечение плоскостей.
Для определенности

$$\begin{cases}
 x=x_0+\alpha t\\
 y=y_0+\beta t\\
 z=z_0+\gamma t\\
 \end{cases}$$

$$\begin{cases}
 A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\
 A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\
 \end{cases}$$

Есть идея --- параметрическое задание прямой подставить в уравнение одной из плоскостей, пересечением которых задана вторая прямая и найти $t$, а затем его подставить в параметричекие уравнения. Так мы найдем точку пересечения параметрической прямой и плоскости. ТОлько зачем?!
А потом подставить в параметрическое уравнение первой прямой

$$ A_1(x_0+\alpha t)+B_1(y_0+\beta t)+C_1(z_0+\gamma t)+D_1=0$$

$$A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1+(A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma)t=0$$

$$t=-\dfrac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}$$

$$\begin{cases}
 x=x_0-\alpha \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\
 y=y_0-\beta \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\
 z=z_0-\gamma \frac{A_1x_0+B_1y_0+C_1z_0+D_1}{A_1\alpha+B_1\beta+C_1\gamma}\\
 \end{cases}$$

Вторая система представляет не прямую, а плоскость (оба уравнения одинаковы).
Если это была бы прямая (оба уравнения были бы разные), то Вы бы подставили в каждое из них значения переменных, выраженные через $t$ из первой системы, нашли бы из полученных двух уравнений $t$. Если прямые пересекаются, Вы получите одинаковые значения $t$ из обеих уравнений. Если прямые не пересекаются, значения $t$ разные, а это значит, они или скрещивающиеся, или параллельны. Вам еще надо исключить случай параллельных прямых. Для этого приведите вторую систему к каноническому виду прямой, чтобы определить коэффициенты (координаты вектора, параллельного второй прямой). Для первой прямой эти координаты известны. Если векторы параллельны, прямые параллельны. В противном случае скрещиваются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 00:28 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Направляющие векторы прямых $l_1$ и $l_2$ и произвольный вектор $r$, соединяющий две точки на этих прямых, образуют параллелепипед. Объем этого параллелепипеда $abs(l_1l_2r)$ ненулевой тогда и только тогда, когда прямые скрещиваются. Расстояние между прямыми $h$ - это высота этого параллелепипеда; стало быть, $h=abs(l_1l_2r/|[l_1,l_2]|)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
spaits
Можно еще проще. Исследовать получившуюся систему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 12:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tlalok в сообщении #440506 писал(а):
Можно еще проще. Исследовать получившуюся систему.

У нас система из пяти уравнений с четырьмя неизвестными. Исследовать её -- значит просто попытаться решить. А поскольку вид системы очень специфичен, пытаться надо так: подставить канонические уравнения первой прямой в каждое уравнение плоскости и посмотреть, совместна ли получившаяся простенькая системка из двух уравнений для одной переменной $t$.

Но это даёт (действительно быстро) лишь ответ на вопрос, пересекаются ли. И ничего не говорит о том, каково расстояние. Поэтому проще всего именно вариант Полосина (я только оформил бы его чуть иначе -- не через параллелепипед, а через проекцию). Т.е. мы в лоб считаем расстояние, а как найдём -- сразу ясно, пересекаются или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
ewert
То что вариант Полосина проще я согласен. Просто мне не понятно как выбрать вектор r.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 16:17 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tlalok в сообщении #440649 писал(а):
мне не понятно как выбрать вектор r

Выбрать по одной точке (любой) на каждой прямой и соединить их вектором. Для первой прямой такая точка сидит непосредственно в параметрических уравнениях. Для второй -- надо взять любое решение системы из этих двух уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 19:20 


25/10/09
832
Полосин в сообщении #440505 писал(а):
Направляющие векторы прямых $l_1$ и $l_2$ и произвольный вектор $r$, соединяющий две точки на этих прямых, образуют параллелепипед. Объем этого параллелепипеда $abs(l_1l_2r)$ ненулевой тогда и только тогда, когда прямые скрещиваются. Расстояние между прямыми $h$ - это высота этого параллелепипеда; стало быть, $h=abs(l_1l_2r/|[l_1,l_2]|)$.


Спасибо!
не понимаю -- как могут 2 прямые и вектор образовать параллелепипед?!оО

-- Вс май 01, 2011 19:21:47 --

Tlalok в сообщении #440649 писал(а):
Уравнение\я плоскостей совпадают

Это я опечатался, индексы должен ыбл другие поставить)))

-- Вс май 01, 2011 19:25:47 --

ewert в сообщении #440568 писал(а):
Но это даёт (действительно быстро) лишь ответ на вопрос, пересекаются ли. И ничего не говорит о том, каково расстояние. Поэтому проще всего именно вариант [b]Полосина (я только оформил бы его чуть иначе -- не через параллелепипед, а через проекцию). Т.е. мы в лоб считаем расстояние, а как найдём -- сразу ясно, пересекаются или нет.

Спасибо! А как через проекцию?!
А как действовать, если мы проверили, что прямые не пересекаются, как в этом случае найти расстояние между прямыми и проверить -- скрещивающиеся они или параллельные?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение01.05.2011, 22:40 


25/10/09
832
(((((

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение04.05.2011, 14:34 


25/10/09
832
Спасибо за ответы, в общем виде вряд ли получится, давайте попробуем на примере....

Проверить - являются ли прямые скрещивающимися и если да, то найти расстояние между ними.

Первая задана параметрически
Вторая как пересечение плоскостей.
Для определенности

$$\begin{cases}
 x=t-1\\
 y=-t+3\\
 z=4t-5\\
 \end{cases}$$

$$\begin{cases}
 2x-3y+z=5\\
 x+y-5z=4 \\
 \end{cases}$$

-- Ср май 04, 2011 14:46:41 --

1)Подставляя параметрические уравнения в первую плоскость

$2(t-1)-3(-t+3)+4t-5=5$

$2t-2+3t-9+4t-5=5$

$2t+3t+4t=5+5+9+2$

$9t=21$ => $t_1=\dfrac{21}{9}$

2)Подставляя параметрические уравнения в первую плоскость

$t-1-t+3-5(4t-5)=4$

$-1+3-20t+25=4$

$-20t=4+1-3-20$

$-20t=-23$ =>$t_2=-\dfrac{23}{20}$

Значит прямые не пересекаются...А других объяснения я не понял(((
Подскажите, пожалуйста, чтол дделать дальше!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение04.05.2011, 14:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
integral2009 в сообщении #441614 писал(а):
(((((
integral2009 в сообщении #440705 писал(а):
Спасибо! А как через проекцию?!

Просто. Мысленно проводим через первую прямую плоскость параллельно второй прямой и для второй прямой аналогично. Эти две плоскости окажутся параллельными или (в частном случае, когда прямые пересекаются) будут совпадать.

Так вот: расстояние между прямыми -- это расстояние между этими плоскостями.

А последнее находится по шаблону: надо спроецировать любой вектор, начало которой лежит в одной плоскости и конец в другой, на общий вектор нормали к обеим плоскостям. В качестве концов первого вектора можно взять любую точку на первой прямой и любую на второй. А общая нормаль -- это векторное произведение направляющих векторов этих прямых. Отсюда и ответ.

Потом это всё при желании можно, разумеется, домыслить до параллелепипеда; но мне это не кажется особо так эстетичным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как проверить -- являются ли две прямые скрещивающимися
Сообщение04.05.2011, 17:00 


25/10/09
832
Мысленно, это понятно, спасибо!
А как это аналитически?!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group