Ряд Фурье

[junior200891]

Tlalok в сообщении #440342 писал(а):

Dan B-Yallay
Со Всем уважением, но у Вас тоже результат не верный.
Если по Всем правилам, то $a_0=3$, но в данном случае, если ТС сознательно поставил $\dfrac{1}{3}$ перед интегралом, вместо $\dfrac{2}{3}$, можно считать, что $a_0=\dfrac{3}{2}$.

нет не сознательно!! но почему там должно быть $\dfrac{2}{3}$ ??

[Dan B-Yallay]

ewert, Tlalok
Я зазевавшись обозначил

Цитата:

площадь трапеции с основаниями 1 и 2 и с высотой 3.

как $a_0$

[ewert]

Tlalok в сообщении #440342 писал(а):

если ТС сознательно поставил $\dfrac{1}{3}$ перед интегралом, вместо $\dfrac{2}{3}$,

Сознательно. У него определение $a_0$ такое. Ведь в ряд-то он подставлял этот коэффициент соответственно.

[junior200891]

объясните пожалуйста почему там могло быть 2/3 вместо 1/3??

[Tlalok]

junior200891 в сообщении #440344 писал(а):

нет не сознательно!! но почему там должно быть $\frac{2}{3}$ ??

По определению: l - полупериод.
${a_0} = \frac{1}{l}\int\limits_{ - l}^l {f\left( x \right)dx}$
Так как у Вас четная функция, то
${a_0} = 2\frac{1}{l}\int\limits_0^l {f\left( x \right)dx}$

А в ряд Фурье подставляется коэффициент $\dfrac{a_0}{2}$

[junior200891]

спасибо)

[ewert]

Tlalok в сообщении #440353 писал(а):

А в ряд Фурье подставляется коэффициент $\frac{{{a_0}}}{2}$

Есть два стандартных варианта записи ряда Фурье:
$a_0+\sum(a_k\cos(...)+b_k\sin(...))$
и
$\frac{a_0}{2}+\sum(a_k\cos(...)+b_k\sin(...))$.
Первый вариант -- это тригонометрический ряд Фурье, записанный как частный случай обобщённого, когда $a_k=\frac{(f,\cos)}{\|\cos\|^2}$. Второй -- это традиционное в некотором смысле извращение первого, когда двойку передвигают в сам ряд, чтобы при вычислении коэффициентов перед всеми интегралами стоял один и тот же множитель. Им явно давали именно первый вариант.

[junior200891]

тоесть решение этой задачи выглидит так??
Разложим функцию $f(x) = \frac{(-x)}{3}+2 $ в ряд Фурье на промежутке $0<x\le 3$
Здесь $x_0=0, T=3$. Функция четная $b_n=0$

$a_0=\frac{(1)}{3} $$\int_{0}^{3} (\frac{(-x)}{3}+2) dx=\frac{(1)}{3}(-\frac{(x^2)}{6}+2x)|_{0}^{3}=\frac{(1)}{3}(-\frac{(3)}{2}+6)=\frac{3}{2}$

$a_n=\frac{2}{3}\int_{0}^{3}(-\frac{x}{3}+2)cos(n \pi x)dx=\frac{2}{3}((-\frac{x}{3}+2)*\frac{sin(n \pi x)}{n \pi}|_{0}^{3}+\frac{1}{3} \int_{0}^{3} \frac{sin(n \pi x)}{n \pi})=\frac{2}{3} (0-0-\frac{1}{3} \frac{cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}|_{0}^{3})=\frac{2}{3}*\frac{1}{3}(-\frac{cos(n \pi x)}{(n \pi)^2}-\frac{1}{(n \pi)^2})=-\frac{2((-1)^n-1)}{9(n \pi)^2}$

Получаем Ряд Фурье

$S(x)=\frac{3}{2}-\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2((-1)^n-1)}{9*(n \pi)^2} cos(n \pi x)$

[ewert]

П

junior200891 в сообщении #440362 писал(а):

Получаем Ряд Фурье

$S(x)=\frac{3}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} -\frac{2*(-1)^n-1}{9*(n \pi)^2} *cos(n \pi x)$

Получать-то получаем, только несколько моментов. Во-первых, скобки в числителе потеряны. Во-вторых, неприлично сразу после знака суммы ставить минус -- такой коэффициент опять же следует окружать скобками. В-третьих, звёздочки ставить тоже неприлично. В-четвёртых, у Вас потеряны эти самые 2/3 в промежуточных выкладках. И, наконец, в пятых, Вы так и будете тратить на каждый такой пример по полгода, если не избавитесь от разгильдяйства.

[Tlalok]

ewert
Я не большой специалист по рядам Фурье. Мне кажется, что в сумму должно входить выражение $a_n \cos \dfrac{\pi nx}{3}$, где $a_n$ рассчитано по чуть-чуть другой формуле.
Прокомментируйте пожалуйста.

[ewert]

Tlalok в сообщении #440371 писал(а):

Мне кажется, что в сумму должно входить выражение $a_n \cos \dfrac{\pi nx}{3}$.

Хм, а я и не заметил. Конечно. За завесой всех прочих блох на этого слона я просто не обратил внимания.

Так что придётся пересчитывать всё заново. Т.е., собственно, просто убрать из ответа девятку. И, конечно, ещё одну звёздочку.

[Tlalok]

Теперь junior200891 пересчитайте $a_n$ по формуле
${a_n} = \dfrac{2}{3}\int\limits_0^3 {f(x )\cos \dfrac{\pi nx}{3}dx}$

[junior200891]

тоесть общая формула получается такая ${a_n} = \dfrac{2}{T}\int\limits_a^b {f(x )\cos \dfrac{\pi nx}{T}dx}$

где: $a=x_0, b=x_0+T$

[Tlalok]

junior200891
Да, в случае четной функции.

$a=0, b=T$ для четной функции. Т - полупериод

[ewert]

junior200891 в сообщении #440384 писал(а):

тоесть общая формула получается такая ${a_n} = \dfrac{2}{T}\int\limits_a^b {f(x )\cos \dfrac{\pi nx}{T}dx}$

где: $a=x_0, b=x_0+T$

Ни в коем разе. Тогда и под косинусом придётся ставить $\dfrac{\pi n(x-x_0)}{T}$