2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 3 задачки! Помогите решить.
Сообщение07.12.2006, 16:31 
Аватара пользователя


09/03/06
40
Владивосток
1.Хрюша расставил своих 2006 друзей на дороге длиной 1 км. Есть ли точка на этой дороге, такая что сумма расстояний от нее до друзей Хрюши не меньше 1003 км?

2.С какого номера n члены последовательности:
a[1] = 1,
a[n+1] = 2*(a[n]+1/a²[n])/3
будут отличаться от кубического корня из 2 на величину не больше чем 10 в степени -16?

3.Найти x, y, z, такие что
x + y + z = 1,
x³ + y³ + z³ = 1,
xy + yz + xz = -4.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.12.2006, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
В задаче №3 найдите величину $xyz$ и с помощью теоремы Виета сведите задачу к кубическому уравнению.

В задаче №2 описан метод Ньютона нахождения корней уравнения $f(x)=0$, о котором можно прочитать, например, в книге Гордина "Как это посчитать?". Там же доказывается следующая формула: если $q_n$ --- погрешность на n-ом шаге, то верна следующая оценка: $q_n\leq (q_0)^{2^n}$. Поскольку в нашем слечае $f(x)=x^3-2$ и $|q_0|<1$, то сходимость будет очень быстрой. Нужное n посчитайте сами.

В задаче №1 рассмотрите двух соседних друзей Хрюши, стоящих на максимальном расстоянии друг от друга, и воспользуйтесь принципом Дирихле.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.12.2006, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
1) Докажите, что один из концов дороги удовлетворяет условию.

Добавлено спустя 14 минут 21 секунду:

3) Используйте тождество
$$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$$

Добавлено спустя 54 минуты 20 секунд:

2) Элементарное (школьное) решение может быть таким.
Во-первых,
$a_{n+1}=\frac23(\frac{a_n}2+\frac{a_n}2+\frac1{a_n^2})\geqslant\frac23\cdot3\sqrt[3]{\frac{a_n}2\cdot\frac{a_n}2\cdot\frac1{a_n^2}}=\sqrt[3]2$
Во-вторых, при $n\geqslant2$
$a_{n+1}=\frac23(a_n+\frac1{a_n^2})\leqslant a_n$
Далее,
$\frac{a_{n+1}-\sqrt[3]2}{(a_{n+1}-\sqrt[3]2)^2}=\frac23(\frac1{a_n}+\frac{\sqrt[3]2}{2a_n^2})$
При $n\geqslant2$ $\sqrt[3]2\leqslant a_n\leqslant a_2=\frac43$, поэтому
$\frac{a_{n+1}-\sqrt[3]2}{(a_{n+1}-\sqrt[3]2)^2}\in[\frac12+\frac{3\sqrt[3]2}{16};\frac1{\sqrt[3]2}]$
Отсюда легко получить ответ $n=6$ (вроде).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group