2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 помогите найти допустимые экстремали
Сообщение02.12.2006, 13:21 


14/11/06
34
$$
f(y) = \int_{-1}^1 { [(y'(x))^3 + (y'(x))^2]dx }
$$
y(-1) = -1; y(1) = 3

К сожалению, я точно не знаю, что значит найти допустимые экстремали, но судя по всему - это значит решить уравнение Эйлера. Для этого его сначала составляем:
$$ f(x,y,y') = (y')^3 + (y')^2 $$
$$\frac{df'}{dy'} = 3(y')^2 + 2y' $$
f не содержит x в явном виде, значит уравнение Эйлера составляем как
$$ f - y'\frac{df'}{dy'} = 0 $$
$$ (y')^3 - (y')^2 - y'(3(y')^2 + 2y') = 0 $$
$$ -2(y')^3 - 3(y')^2 = 0 $$
А вот дальше уже не так уверен в том, что делал (диффуры за 2 года уже успел подзабыть):
$$ (y')^2(-2y' - 3) = 0 $$

откуда выходит что:
$$ y' = 0 => y = c1 $$
либо:
$$ y' = -\frac{3}{2} => y=-\frac{3}{2}x + c2 $$
но подставляя оба граничных условия что в первое, что во второе решение, не получаем решения.
Как быть?
Может ли это значить, что нет допустимых экстремалей?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Да, именно это и означает полученный Вами результат.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
По-моему, уравнение Эйлера выглядит как-то так
$$\frac d{dx}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$$
В данном случае оно переписывается в виде $\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=const$, т.е. $\dot{y}=const.$
Или я неправ?

Добавлено спустя 14 минут 22 секунды:

Кстати, допустимая экстремаль - решение уравнения Эйлера гладкости $C^1$, удовлетворяющее граничным условиям $y(-1)=-1,y(1)=3$

Добавлено спустя 11 минут 3 секунды:

Кажется, то, что Вы выдали за уравнение Эйлера, называется интегралом энергии(это первый интеграл уравнения Эйлера) и он должен равняться не $0$, а константе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 17:00 


14/11/06
34
RIP писал(а):
По-моему, уравнение Эйлера выглядит как-то так
$$\frac d{dx}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$$
В данном случае оно переписывается в виде $\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=const$, т.е. $\dot{y}=const.$
Или я неправ?


Хм, если решать уравнение в исходном виде, не используя факт про "не содержание X в явном виде", то так и получается.. Вернее не совсем так - опять 2 решения получилось, одно из них - то что Вы и написали (y = c1*x + c2) и второе - $$ y = -\frac{1}{3}x + c1$$ (если нигде не ошибся - еще не перепроверил толком), второе, в данном случае опять не подпадает под граничные условия.. А вот первое - подпадает..

Цитата:
Кажется, то, что Вы выдали за уравнение Эйлера, называется интегралом энергии(это первый интеграл уравнения Эйлера) и он должен равняться не $0$, а константе.


Хм... возможно так и есть, но я, увы, знаю обо всем об этом лишь с практических занятий, где и было сказано, что уравнение Эйлера переписывается указанным в исходном вопросе способом, если X не содержится в явном виде. Хотя исходное уравнение - да, выглядит так, как Вы и написали.
Решение уравнение в исходном виде оказывается проще, чем в таком, поэтому в типовой оно так и пойдет.. А вот почему получаются разные результаты - это я спрошу у преподавателя на консультации. Наверное, по той самой причине, что Вы и написали выше - должен равняться не 0, а константе..

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 18:24 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Cовершенно верно. Решать надо уравнение Лагранжа:
RIP писал(а):
$$\frac d{dx}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$$
В данном случае оно переписывается в виде $\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=const$.


После нахождения решения (если такое имеется) подставлять гран. условия.

Добавлено спустя 6 минут 13 секунд:

Re: помогите найти допустимые экстремали

obezyan писал(а):
f не содержит x в явном виде, значит уравнение Эйлера составляем как
$$ f - y'\frac{df'}{dy'} = 0 $$


Это не уравнение Лагранжа (или, если больше нравится, Эйлера), а первый интеграл (левая часть -- энергия со знаком минус). Зачем усложнять нотацию для $f'$ (и так понятно, что производная)?

Добавлено спустя 4 минуты 27 секунд:

obezyan писал(а):
Второе, в данном случае опять не подпадает под граничные условия.. А вот первое - подпадает..


Если не попадает, значит не экстремаль.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
RIP прав , а я- не прав: в Вашем случае уравнение Эйлера_Лагранжа выглядит так: $$ f - y'\frac{df}{dy'} = c $$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 22:58 


30/06/06
313
Так как подынтегральная функция зависит явно лишь от $y',$ то семейство экстремалей находится из такого дифференциального уравнения:
$y''(x)=0,$
то есть имеет вид
$y=c_{1}x+c_{2},$ где $c_{1}$ и $c_{2}$ - константы.
Воспользовавшись граничными условиями, получаем следующую СЛАУ для нахождения констант $c_{1}$ и $c_{2}:$
$\left\{ \begin{array}{l} 
-c_{1}+c_{2} = -1\\ 
 c_{1}+c_{2}= 3, 
\end{array} \right$
откуда $c_{1}=2, c_{2}=1.$
Тогда допустимая экстремаль выглядит так:
$y=2x+1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Imperator писал(а):
Так как подынтегральная функция зависит явно лишь от $y',$ то семейство экстремалей находится из такого дифференциального уравнения:
$y''(x)=0,$

Для "учебных" задач это так, однако в общем случае это неверно. Из
$\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}=const$
вообще говоря, не следует $\dot{y}=const$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
RIP писал(а):
$\frac d{dx}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}})-\frac{\partial f}{\partial y}=0$

Поскольку $f$ не зависит от $x$ и $y$, имеем: $\frac{\partial f}{\partial y}=0 \Rightarrow$ $\frac {\rm d}{{\rm d}x}(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}) = 0 \Rightarrow$ $ \frac{\partial f}{\partial\dot{y}} = {\rm const}$. В силу независимости $f$ от $x$ последняя производная полная $\frac{\partial f}{\partial\dot{y}} = \frac{{\rm d} f}{{\rm d} \dot{y}} =  {\rm const}$. Что противоречит
Brukvalub писал(а):
$ f - y'\frac{df}{dy'} = c $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.12.2006, 23:30 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
RIP писал(а):
Для "учебных" задач это так, однако в общем случае это неверно. Из
$\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}=const$
вообще говоря, не следует $\dot{y}=const$.


Почему для "учебных"? Учебные задачи бывают разными. Это верно, если $\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}$ функция только $\dot{y}$.

Добавлено спустя 3 минуты 20 секунд:

Re: помогите найти допустимые экстремали

obezyan писал(а):
$$
f(y) = \int_{-1}^1 { [(y'(x))^3 + (y'(x))^2]dx }
$$


И вообще должна быть функциональная запись $\mathcal{F}[y(x)]$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2006, 07:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
LynxGAV писал(а):
RIP писал(а):
Для "учебных" задач это так, однако в общем случае это неверно. Из
$\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}=const$
вообще говоря, не следует $\dot{y}=const$.


Почему для "учебных"? Учебные задачи бывают разными. Это верно, если $\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}$ функция только $\dot{y}$.

В том-то и дело, что нет. Например, для $f=\dot{y}^3+|\dot{y}|^3$ уравнение
$$\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=0$$
равносильно $\dot{y}\leqslant0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.12.2006, 20:56 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Вы хорошо отличаете учебные задачи от не учебных :).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group