Неопределённые интегралы

[spaits]

Play в сообщении #432369 писал(а):

так где там ошибка? степень не поставил или решение само не правильное?

Доведите решение до конца, возьмите производную от полученной функции и узнаете, есть ли ошибка.

Play в сообщении #432369 писал(а):

Я могу делать ошибки в самых простых местах. Вы уж строго не судите=)

Никто Вас не судит. Но не тяните жилы у себя и у других.

[Play]

примеры 3 и 4 так же решаются как и первый?

Цитата:

Но не тяните жилы у себя и у других.

Просто я слабоват в математике, а мне ещё таких 24 интеграла решить нужно, вот и обратился за помощью.

[laplas_the_best]

Play в сообщении #432390 писал(а):

примеры 3 и 4 так же решаются как и первый?

Цитата:

Но не тяните жилы у себя и у других.

Просто я слабоват в математике, а мне ещё таких 24 интеграла решить нужно, вот и обратился за помощью.

А вы нашли (поняли как найти $A,B,C,D$) в первом примере?=)

Да, 3 и 4 аналогичным способом решаются, 5 пример -- самый простой=)

[Play]

Цитата:

А вы нашли (поняли как найти ) в первом примере?=)

Я конечно понимаю, что порядком надоел тут, но вот именно как их находить - не знаю. Способ мне знаком, но вот как выражать я не понял. Я конечно поищу в своих записях, спрошу у товарищей, но если вдруг не пойму, то объясните пожалуйста=)

Цитата:

5 пример -- самый простой=)

Ну вот же. А по мне он самый сложный. Я со школы не любил корни.

Хорошо. я сегодня вечером постараюсь сам прорешать, что не пойму напишу как есть.

[laplas_the_best]

Play в сообщении #432400 писал(а):

Цитата:

А вы нашли (поняли как найти ) в первом примере?=)

Я конечно понимаю, что порядком надоел тут, но вот именно как их находить - не знаю. Способ мне знаком, но вот как выражать я не понял. Я конечно поищу в своих записях, спрошу у товарищей, но если вдруг не пойму, то объясните пожалуйста=)

Вы поищите - куда у вас $x^3$ пропал=)
Нужно будет приравнять коэффициенты при одинаковых степенях или подставлять удобные значения $x$
Возможно, что вам поможет тема topic30511.html

[spaits]

Play в сообщении #432390 писал(а):

примеры 3 и 4 так же решаются как и первый?

Я уже показала Вам, как начать решать примеры 3 и 4. Да, тоже разложением дроби на сумму элементарных дробей. Почитайте, наконец, теорию.
Что касается знаменитого примера 1, уже и вам, наверно, надоевшего, то хочу показать Вам еще и другой способ , как находить коэффициенты.

$\frac{x^2}{1-x^4} = \frac{-x^2}{x^4-1} = \frac{-x^2}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=$ $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1} =\dfrac{A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x+1)(x-1)}{x^4-1}$.

Приравниваем числители, не раскрывая скобок, затем даем $x$ значения, при которых некоторые скобки обращаются в ноль. В данном примере таких значений лишь два, остальные два выбираем, как душе угодно. Это альтернативный метод, Вам не надо решать систему уравнений, зато вычислений может быть больше, по сравнению с первым способом (приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях $x$). Но Вы должны знать оба способа!

$-x^2=A(x+1)(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)+(Cx+D)(x+1)(x-1)$;
$x=-1$; тогда $-1=B\cdot(-2)\cdot2$; $B=\frac14$;
$x=1$; тогда $-1=-A\cdot2\cdot2$;$A=-\frac14$;
$x=0$; тогда (A и B уже известны) $0=-\frac12-D$; $D=-\frac12$;
$x=2$ (это значение выбираю как наиболее простое для вычислений);
тогда $-4=-\frac52+6C-\frac32$; $C=0$.

$\int\frac{x^2}{1-x^4}dx=\int\frac{-x^2}{x^4-1}dx=$ $\int(\frac14\cdot\frac{1}{x+1}-\frac14\cdot\frac{1}{x-1}-\frac12\cdot\frac{1}{x^2+1})dx$.

Play, за эти мои старания возьмите сами хоть интеграл!

[Play]

Спасибо большое

[spaits]

Play, а где взятый Вами интеграл? Это ведь табличные интегралы, трудно написать ответ?

[Play]

Я вообще-то не просил всё это мне писать. Ваши старания в данный момент напрасны. Но всё равно спасибо. Я решил всё это, но немного другим способом, каким меня научили.

[spaits]

laplas_the_best в сообщении #432396 писал(а):

А вы нашли (поняли как найти ) в первом примере?=)

Тогда почему Вы не нашли коэффициенты $A,B,C,D$ так, как очень доходчиво объяснил Вам laplas_the_best? Вам осталось только решить систему линейных уравнений, где Ваши попытки сделать это?
Второй метод от первого мало чем отличается.
Да и писала я его для тех, кто хочет чему-нибудь научиться. Думала, и для Вас.

[Play]

Да мне главное было понять. Простите что свои решения не успел опубликовать =)

[spaits]

Play в сообщении #432490 писал(а):

Я вообще-то не просил всё это мне писать.

Play, a вот laplas_the_best просил Вас написать, как Вы справились с решением, именно тем методом, который Вам в школе объясняли. Вы даже не ответили ему и даже не пытались составить систему уравнений для нахождения коэффициентов, как он Учил Вас.

А моё решение останется для тех, кто захочет освоить оба метода.
Для Вас главное - понять. Вижу, поняли. Спасибо.

[Play]

$x^3 | 0=A-B-C (1)$
$x^2 | 1=A+B-D (2)$
$x^1 | 0=A-B+C (3)$
$x^0 | 0 =A+B+D (4)$

После нескольких преобразований получаются те же результаты, что и у вас. Только у меня $A=B=\frac{1}{4}$
Вот как я выражал:
$(1)A=B+C$
$(2)0=B+C-B+C=2C => C=0$
$(3)0=A-B+C => 0=A-B => -A=-B => A=B$
$(2)1=2A-D => D=2A-1$
$(4)0=2A+2A-1=4A-1 => A=\frac{1}{4}$
$B=\frac{1}{4}; D= 2*\frac{1}{4}-1 = -\frac {1}{2};$

Вот как я это сделал.

[spaits]

Play в сообщении #432527 писал(а):

Только у меня

У Вас $A=B=\frac14$.
У меня $A=-\frac{1}{4}$; $B=\frac{1}{4}$.
Всё верно, у меня ведь в разложении дробь $\frac{A}{x-1}=-\frac14\cdot\frac{1}{x-1}$, а у Вас $\frac{A}{1-x}=\frac14\cdot\frac{1}{1-x}=-\frac14\cdot\frac{1}{x-1}$.
Наши результаты полностью совпадают.
Теперь возьмите интеграл.

[Play]

И далее, будучи не уверенным, я настрочил следующее:

$-\frac{1}{4}\int\frac{1}{x-1}dx+\frac{1}{4}\int\frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2 +1}dx = \frac{1}{2} ln |\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}| + arctg\sqrt{x}-\frac{1}{2}arctg x+C$