2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Система дифференциальных уравнений
Сообщение27.03.2011, 01:43 
Доброй ночи....затрудняюсь с частным решением.
$x'= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right)x +\left( \begin{array}{c} 1  \\ 0 \end{array} \right)$ такая вот задача.
Общее решение однородного получилось $x_{oo}=c_{1} \left( \begin{array}{c} 1  \\ -1 \end{array} \right) + c_{2} \left( \begin{array}{c} 1  \\ 2 \end{array} \right) e^{3t}$
Не подскажите, как искать частное решение?

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 01:53 
Аватара пользователя
А где начальные условия?

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 10:46 
Больше ничего не дано.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 10:56 
Здесь имеется в виду частное решение неоднородного уравнения
Филиппов (сборник задач по дифурам) вам в помощь

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 11:05 
Я прекрасно знаю, что нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Вы меня послали в книгу, из которой я пришел сюда.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 11:07 

(Оффтоп)

Еще раз послать?)

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 11:24 
Подставьте выражение $x(t)=a(t)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+b(t)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t}$ в Вашу исходную систему. Слагаемые с $a(t)$ и $b(t)$ в левой и в правой части автоматически сократятся, и останется векторное тождество для $a'(t)$ и $b'(t)$. Т.е., собственно, система из двух скалярных уравнений для этих двух неизвестных функций. В этом и заключается метод вариации произвольных постоянных -- что для одного уравнения высшего порядка, что для систем; лишь бы линейными были.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 12:22 
Я не понимаю... производную находить от $x(t) $ ? Или куда подставлять ? В Филиппове нет рассмотрения подобной задачи. Почему мы не использовали $\left( \begin{array}{c} 1  \\ 0 \end{array} \right)$ нигде?

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 13:08 
Пардон, я вместо добавления нового сообщения по рассеянности отредактировал предыдущее, см. выше.

 
 
 
 Re: Система дифференциальных уравнений
Сообщение27.03.2011, 13:16 
Можно также искать частное решение методом неопределенных коэффициентов:$$x=\left (\begin{array}{c}a_1t+b_1\\a_2t+b_2\end {array}\right )$$.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 13:39 
mihiv в сообщении #427998 писал(а):
Можно также искать частное решение методом неопределенных коэффициентов:

Можно, но логически сложнее. А если бы корень был кратным?...

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 13:50 
Спасибо... получается такое, если я правильно понял?)) $(a(t)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+b(t)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t})'=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right)(a(t)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+b(t)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t}) +\left( \begin{array}{c} 1  \\ 0 \end{array} \right)$

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 14:27 
Ну раскрывайте скобки и смотрите, что получится после всех сокращений.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 15:20 
Получилось $a'(t)\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}+b'(t)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t}=\left( \begin{array}{c} 1  \\ 0 \end{array} \right)$$a$ множитель получился равен нулю, а $b$ справа уничтожилось после нахождения производной от умножения $b$)
Далее вроде бы из уравнений получилось, что $a'(t)=\frac {2} {3}$, а $b'(t)= \frac {1} {3} e^{-3t}$

Отсюда $a(t)=\frac {2} {3}t$ , $b(t)=-\frac {1} {9}e^{-3t}$

Затем подставляем коэффициенты в уравнение $x(t)$, которое вы мне дали и складываем с общим решением однородного?

 
 
 
 
Сообщение27.03.2011, 16:24 
И в итоге $x=c_1\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}e^{3t} +\frac {2} {3}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}t-\frac {1} {9}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
Похоже на правду? :o

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group