2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма коэффициентов полинома.
Сообщение14.11.2006, 23:27 
Аватара пользователя


13/08/06
107
Здравствуйте, уважаемые участники форума! Я вернулся)) Меня интересует вопрос:
В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные) ... Как? (условия уточняются)
Заранее спасибо.[/code]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 23:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Пусть $f(x)=( 1 - x^2 - x^3 )^{2006}$. Тогда сумма четных коэффициентов равна $\frac{f(1)+f(-1)}{2},$ а сумма нечетных $\frac{f(1)-f(-1)}{2}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Mathematica это посчитает за 10-20 секунд. Полчите числа порядка 7.875008 10 ^849 для четных, и, соответственно -7.875008 10 ^849 для нечетных. Сумма, как и следует ожидать, равна 1. А зачем?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 23:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
незваный гость писал(а):
Полчите числа порядка 7.875008 10 ^849 для четных, и, соответственно -7.875008 10 ^849 для нечетных.

Отнюдь. Ответом будет 1 и 0. См. формулы выше.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2006, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
maxal, Вы подсчитали сумму четных по номеру коэффициетнов. А я — по значению.
AchilleS писал(а):
(имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные)


Добавлено спустя 41 минуту 44 секунды:

:evil:
Мне было лень, и я подсчитал точно. Просто, публиковать 897 цифр?!? как-то непонятно зачем. Задача выглядит искусственной.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2006, 00:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Вообще, коэффициент при $x^t$ равен:
$$\sum_{k=0}^{\lfloor t/2\rfloor} (-1)^k {2006\choose k} {k\choose t-2k}.$$
Но вот определить аналитически его четность (даже с помощью теоремы Люка) не так-то просто. Гораздо проще пробежаться по численным значениям всех коэффициентов и просуммировать согласно четности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2006, 15:07 
Аватара пользователя


13/08/06
107
maxal писал(а):
Пусть $f(x)=( 1 - x^2 - x^3 )^{2006}$. Тогда сумма четных коэффициентов равна $\frac{f(1)+f(-1)}{2},$ а сумма нечетных $\frac{f(1)-f(-1)}{2}.$


Простите, не могли бы вы более подробно объяснить это решение.
Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2006, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
AchilleS писал(а):
Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов!

AchilleS писал(а):
В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные)

1) Это не уравнение.
2) Этот полином не третьей степени.
3) Если это 11-класс, то это — не «сами коэффициенты», а их номера.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2006, 09:43 
Аватара пользователя


13/08/06
107
незваный гость писал(а):
:evil:
AchilleS писал(а):
Кстати, это задача с городской олимпиады по математике для 11-ых классов!

AchilleS писал(а):
В уравнении 3-ей степени (1-х^2-x^3)^2006 необходимо найти сумму четных и нечетных коэффициентов (имеется в виду сами коэффициенты четные или нечетные)

1) Это не уравнение.
2) Этот полином не третьей степени.
3) Если это 11-класс, то это — не «сами коэффициенты», а их номера.


Приму к сведению.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.11.2006, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
AchilleS писал(а):
Простите, не могли бы вы более подробно объяснить это решение.

Пусть $f(x) = (1-x^2 - x^3)^{2006}$. Тогда $f(x) = \sum_{k=0}^{6018}a_k x^k$ — полином. $f(1) = \sum_{k=0}^{6018}a_k$, $f(-1) = \sum_{k=0}^{6018}(-1)^k a_k$, и следовательно: $\frac{f(1)+f(-1)}{2} = $ $\sum_{k=0}^{6018} \frac{1+(-1)^k}{2} a_k =$ $\sum_{k=0}^{3009}a_{2k}$. Для нечетных аналогично (либо из суммы всех вычитаем сумму четных).

 Профиль  
                  
 
 Полином
Сообщение19.11.2006, 22:15 
Аватара пользователя


19/11/06
8
полином $$\((1+2x-4x^3)^1^9^9^7$$ записан в каноническом виде. Найти сумму всех его коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2006, 22:17 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Подставьте $x=1.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2006, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
q.v. сумма коэффициентов.


Объединил эти темы. АКМ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2006, 19:46 
Аватара пользователя


13/08/06
107
Спасибо! 8-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group