2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разрывная функция
Сообщение24.11.2006, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Существует ли функция $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, непрерывная в каждой рациональной точке и разрывная в каждой иррациональной?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 16:05 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Можно взять периодическую с периодом 1 функцию, которую в интервале [0,1] можно определить так $f(x)=\sum_{r=a/b<x}\frac{1}{b^3}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Она будет разрывной в каждой рациональной и непрерывной в каждой иррациональной, а надо наоборот :P

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Что-то похожее приходилось строить на экзамене, чтобы реабилитироваться за провал в доказательстве теоремы, которую не успел разобрать.
Давно это было, но кажется так - надо было построить непрерывную справа (или слева, а это без разницы) функцию, разрывы которой всюду плотны в R.
Кажется это тот самый пример и есть. Ряд там был - это точно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 17:37 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Можно строить через непрерывные дроби. Если частные от непрерывной дроби для х $q_1,q_2,...$, то можно взять $f(x)=0,q_1q_2...$, где частичные непрерывной дроби пишутся подряд. Для рациональных непрерывная дробь конечна и поэтому функция разрывна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
В рациональных точках функция должна быть непрерывна :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=337

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Виноват.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.11.2006, 21:49 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
В этой книжке такого добра навалом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2006, 12:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Вот тут нашел функцию Дирихле:
Изображение,

которая не является непрерывной в любой точке $x_0$. "Визуально" она глаже, чем функция Римана:
$f(x)=0$, х - иррациональное число
$f(x)=1/n$, х - рациональное число,

приведенная в доказательстве Someone, тем не менее функция Римана непрерывна в иррациональных точках, а функция Дирихле - нет.

Для меня остается неясным, откуда следует, что функция Римана вообще имеет точки непрерывности? Вроде как не является очевидным существование в окрестности любой иррациональной точки интервала $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$, такого что для любых $x,y\in(a,b)$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<1/n$. Почему бы в таком интервале всегда не встретиться точке $1/m > 1/n$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2006, 14:49 


06/11/05
87
вообще, насколько мне известно, такую функцию построить нельзя, вот наоборот непрерывную в иррациональных и разрывную в рациональных можно.

Добавлено спустя 1 минуту 57 секунд:

кстати в книге, которую рекомендовал maxal, помоему было доказательство этого факта.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2006, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
AlexDem писал(а):
Почему бы в таком интервале всегда не встретиться точке $1/m > 1/n$?


Потому что таких точек в любом конечном интервале только конечное число.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2006, 15:13 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Спасибо!

А maxal столько книг рекомендует, что прочесть все их сразу не представляется возможным :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.11.2006, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
bot писал(а):
Что-то похожее приходилось строить...
надо было построить непрерывную справа (или слева, а это без разницы) функцию, разрывы которой всюду плотны в R.

Хоп, сбился на уровне чёт-нечёт - это был явно протиположный пример, правда с дополнительным условием.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group