Задача по тв: из урны потеряли два шара...

[gris]

Переложили-таки три шара. И белый шар выбирали из 27. Во после этого, да, осталось 26. Вы, наверное, немного забежали вперёд.

Кстати, предыдущие соображения по поводу равенства вероятностей можно изложить так: Вероятность вынимания белого шара из многоцветной урны не меняется при случайном удалении оттуда произвольного числа шаров, либо при вынимании этого шара из предварительно случайно отобранного подмножества шаров (можно неоднократно).
Эта фича имеет простую и почти очевидную физическую аналогию: концентрации веществ в тщательно перемешанном растворе не меняются при разливании его по меньшим ёмкостям.

-- Сб фев 26, 2011 12:13:05 --

upd: Вынос мозга: я начал думать про растворы минут десять назад. И пока писал, не видел сообщения уважамого PAV. Телепатия! Или я умный?

[PAV]

gris
Просто это действительно очень полезная и достаточно обоснованная аналогия, позволяющая развить правильное понимание и вероятностную интуицию, поэтому нет ничего удивительного, что разные люди к ней приходят. Я ее осознал еще много лет назад, когда только учился, и с тех пор держу в голове.

[spaits]

spaits в сообщении #417432 писал(а):

Рассмотрим такую задачу.
Есть два ящика с конкретным набором белых и черных шаров. Допустим (9 белых и 17 черных - в первом и 11 белых и 13 черных - во втором). Из первого ящика во второй переложили 3 шара. Затем из второго ящика извлекли шар. Какова вероятность, что этот шар белый.

Почему в этом случае формула полной вероятности и рассуждения для задачи ТС дают разные результаты?

Вот моё трафаретное решение по формуле полной вероятности.

$P=\dfrac{9*8*13+17*16*11+2*9*16*12}{26*25*26}=\dfrac{7384}{25*26^2}=0,437$.
Первоначально вероятность вынуть белый шар из второго ящика была $\dfrac{11}{24}$ $=0{,}458$. В первом ящике чёрных шаров больше, чем белых, поэтому добавление наугад взятых двух шаров из первого ящика уменьшает вероятность взять белый шар из второго ящика.

Да, зациклилась я на этих двух шарах в предыдущей задаче. Действительно, в решённой задаче я предположила, что из первого во второй переложили два шара. Спасибо за замечание.
Что ж, придётся трафаретным способом решить и про три переложенных шара.
Варианты: ббб, ббч $(C_3^2=3)}$, бчч $(C_3^1=3)$, ччч $(C_3^3)=1)$.
$P=$ $\dfrac{9*8*7*14+3*9*8*17*13+3*9*17*16*12+17*16*15*11}{26*25*24*27}$ $=\dfrac{187800}{26*25*24*27}$ $=0,446$.
Совпадает с ответом gris.
Мне кажется, никакой методики с "концентрацией" по аналогии с растворами не получится, так как здесь - дискретные величины, переливаем мы маленькими порциями этот "раствор", и после каждого "переливания" концентрация раствора в сосудах меняется. То на то и получится, в смысле сложности вычислений.

[gris]

И не мудрено. Я рассуждал так. Допустим, мы переложили три шара, но не стали перемешивать их с остальными во второй урне, а просто положили рядом. Теперь у нас во второй урне две кучки в 3 шара и в 24.
Выбираем случайно шар из второй урны. Мы можем взять его из маленькой кучки с вероятностью 3/27 или из большой с вероятностью 24/27. Для маленькой кучки вероятность того, что шар окажется белым, равна аналогичной вероятности для первой урны до перекладывания, то есть 9/26. А для большой — 11/24.
Теперь применяем формулу полной вероятности:

$$P=\dfrac3{27}\cdot\dfrac9{26}+\dfrac{24}{27}\cdot\dfrac{11}{24}=\dfrac1{26}+\dfrac{11}{27}=\dfrac{313}{702}\approx 0{,}446$$

Можно и другими способами найти нашу вероятность, но результат не изменится.

Насчёт концентрации. Для дискретных "растворов" под концентрацией можно понимать вероятность случайно выбранной молекулы быть молекулой выбранного вещества.

(Оффтоп)

И небольшое мнение по оформлению сообщений. Не стоит так много цитировать без особой необходимости. Ведь при этом уменьшается концентрация новой информации и вообще этот стиль оценивается не очень хорошо.

[spaits]

gris в сообщении #417549 писал(а):

И не мудрено. Я рассуждал так. Допустим, мы переложили три шара, но не стали перемешивать их с остальными во второй урне, а просто положили рядом. Теперь у нас во второй урне две кучки в 3 шара и в 24.
Выбираем случайно шар из второй урны. Мы можем взять его из маленькой кучки с вероятностью 3/27 или из большой с вероятностью 24/27. Для маленькой кучки вероятность того, что шар окажется белым, равна аналогичной вероятности для первой урны до перекладывания, то есть 9/26. А для большой — 11/24.
Теперь применяем формулу полной вероятности:

$$P=\dfrac3{27}\cdot\dfrac9{26}+\dfrac{24}{27}\cdot\dfrac{11}{24}=\dfrac1{26}+\dfrac{11}{27}=\dfrac{313}{702}\approx 0{,}446$$

Можно и другими способами найти нашу вероятность, но результат не изменится.

Насчёт концентрации. Для дискретных "растворов" под концентрацией можно понимать вероятность случайно выбранной молекулы быть молекулой выбранного вещества.

Красивое решение, по сути метод "концентраций растворов", при этом все три шара переносите сразу и они появляются "со своей концентрацией".

[Toucan]

spaits, устное замечание за избыточное цитирование. Для того чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите на кнопочку "Вставка".

И пожалуйста, не используйте для умножения символ $*$. Умножение обозначается \cdot ($1 \cdot 2$), в крайнем случае, \times ($1 \times 2$).