Решение школьных задач и примеров

[MrDindows]

ximikat в сообщении #414776 писал(а):

Тут я нашёл теоретический материал, уже прочитал его, но хотелось бы, чтобы Вы мне разъяснили некоторые, не совсем понятные для меня выражения:

"Если в линейном уравнении коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный член не равен нулю, то его график - пустое множество".
Не совсем понимаю, что это такое - пустое множество? Предполагаю, что если коэфициенты $x, y=0$, а свободный член например 5, то он будет располагаться по оси $x$ или по оси $y$. Не знаю, правильно ли я думаю?

Пустое множество - это значит уравнение не имеет решений. Тоесть считайте, что графика нету вообще!)
Например:$ 0 \cdot x+0 \cdot y=5$
Какие б вы числа вместо $x$ или $y$ не подставляли, у вас никогда ноль пятёркой не станет.

ximikat в сообщении #414776 писал(а):

"Если же коэффициенты при переменных и свободный член равны нулю, то графиком линейного уравнения является плоскость".
Т.е. имеется ввиду любое число на любой из осей $x$ или $y$ ?

Во первых в координатной плоскости нет чисел на осях как таковых. Есть точки, и эти точки имеют свои координаты.
Пример такого уравнения: $ 0 \cdot x+0 \cdot y=0$
Какие бы вы числа вместо x и y не подставляли, у вас всегда будет выполнятся это равенство.
Поэтому говорят, что графиком этого уравнения является вся координатная плоскость, тоесть любая пара чисел $(x,y)$ удовлетворяет это уравнение.

[ximikat]

Доброе утро, ребята!

Вот пример:
a)Докажите, что прямые $5x+11y=8$ и $10x-7y=74$ пересекаются в точке $A (6;-2)$
б) Докажите, что прямые $12x-7y=2$ и $4x-5y=6$ пересекаются в точке $B (-1;-2)$

В обоих примерах я построил графики и доказал, что точки пересекаются. Но как я понимаю, можно доказать и без графиков. Для этого что надо сделать? Какие преобразования?
Возьмём вариант а)
а) Приравняю две прямые
$5x+11y=8$ и $10x-7y=74$
$5x+11y-8=10x-7y-74$; $18y-5x+66=0$ Т.е. в данном случае получили одно уравнение из двух (приведя перед этим подобные слагаемые). А раз это уравнение, тогда надо приравнять его к нулю (это я делаю всегда интуитивно).
Теперь подставим значения $A (6;-2)$
Получается
$18*(-2)-5(*6)+66=0$; $-36-30+66=0$
Всё, все вычисления я все сделал - а понять логически никак не могу, что же это у меня получился за ответ такой? (Так же само решил я и вариант б))

[gris]

А что Вас смущает? Точка пересечения должна принадлежать каждой из прямых. Для проверки надо было подставить координаты в каждое уравнение и проверить, что они являются корнями каждого уравнения.
Вы же решили другую задачу, но не менее важную: найти уравнение некоторой прямой, которая, да, проходит через нашу точку. Но точка $(-12;-7)$ тоже принадлежит ей, но не является точкой пересечения прямых.

[Алексей К.]

ximikat в сообщении #414904 писал(а):

a)Докажите, что прямые $5x+11y=8$ и $10x-7y=74$ пересекаются в точке $A (6;-2)$
..........
Возьмём вариант а)
а) Приравняю две прямые
$5x+11y=8$ и $10x-7y=74$
..........
А раз это уравнение, тогда надо приравнять его к нулю (это я делаю всегда интуитивно).

ximikat,
так делать (псевдо-"интуитивно") нельзя. Это не интуиция, а непонимание того, что Вы делаете. Перечитайте свою фразу: "Приравняю две прямые". Как можно "приравнять две прямые"? Чисто по бытовому --- как можно "приравнять две (разные) прямые"???
Вы должны были решить по-простому:

• принадлежит ли данная точка первой прямой? (проверка, вывод...);
• принадлежит ли данная точка второй прямой? (проверка, вывод...);
• ах, раз она принадлежит обеим прямым, значит...

Или, ежели чего-то приравнивать, то решать, например, так:

• записать первое уравнение в виде $y=\text{какая-то функция от~}x$
• записать второе уравнение в виде $y=\text{какая-то другая функция от~}x$
• вот теперь можно приравнивать игреки, приравнивать осознанно, как ординаты точек: $\text{какая-то функция от~}x= \text{какая-то другая функция от~}x$. И если такой икс найдётся из этого уравнения, значит при таком (общем для двух прямых) значении абсциссы $x$ мы получим одинаковое значение ординаты $y$.
• Что это, как не общая точка двух прямых?
• (А Вы приравнивали какие-то два нуля, не наделив акт приравнивания каким-то геометрическим смыслом.)

Так что надо
(а) перерешать задачку осознанно, обоими указанными способами.
(б) решить остальные задачки осознанно, простейшим из способов.
(в) решить задачку, в которой я подменил вторую прямую:
является ли точка $A (6;-2)$ точкой пересечения прямых $5x+11y=8$ и $10x+22y=16$?

-- 20 фев 2011, 12:24 --

Таких неосмысленностей тоже нельзя писать:

Цитата:

А раз это уравнение, тогда надо приравнять его к нулю.

[ximikat]

Здравствуйте, уважаемый gris!
Я всё равно ничего не пойму!
Смотрите, на графике я начертил две эти прямые, и нашёл, что да, действительно эти точки пересекаются.
Теперь я хочу найти точки так сказать с помощью корней уравнения. Корни (точки) нам известны.
Я подставляю в уравнения, ну давайте, как Вы мне посоветовали:
a) $11y=8-5x$, $A (6;-2)$
$-22=8-30$, $-22=-22$
$-7y=12-10x$
$14=74-60$, $14=14$
Вот, что мне непонятно, что это за $-22$ и $14$ получаются. Что это получилось, где эти цифры расположены на графике?
Тоже самое и в варианте б) получается $14=14$; $10=10$
Что это за ответы такие странные.

Ваше предидущии объяснения, я к сожалению не пойму. Ещё раз спрашиваю - если приравнять две прямые, и получить в них 0, какую такую величину мы получили? Как понять, по полученному ответу, что прямые пересекаются?

-- Вс фев 20, 2011 11:34:05 --

Уважаемый Алексей К.
Я, к сожалению, геометрию не знаю вообще. Так что не удивляйтесь.

[gris]

Вы смело вводите новое понятие "разности двух прямых", а используете при этом уравнения этих прямых. Это весьма некорректно. Ибо прямая может быть описана разными уравнениями. Вот к примеру:
$y=2$ и $x=2$ две прямых. Их разность, в Вашем понимании, это прямая $y-x=0$.
Но вот те же самые прямые в других уравнениях:
$3y=6$ и $2x=4$ две прямых. Их разность, в Вашем понимании, это прямая $3y-2x=2$.
$y-x=0$ и $3y-2x=2$ это совершенно разные прямые. То есть "разность прямых" зависит от вида уравнений этих прямых, а значит является некорректным понятием.
Далее. Числа 14 и -22 имеют геометрический смысл и располагаются в системе координат в определённом месте. Но для их поиска необходимо ввести ещё третью координату, а это является излишним. Нам надо лишь установить факт принадлежности точки прямой. Для этого необходимо проверить, что подстановка координат точки превращает уравнение в числовое верное равенство. А каким оно будет — не важно. Ибо уравнение прямой мы можем записать в виде $11y=8-5x$, или $11y+5x=8$, или $11y-8=-5x$. При подстановке координат точки мы получим равенства $-22=-22$, или $8=8$, или $-30=-30$. Каждое равенство верно и каждое говорит о принадлежности точки прямой. Если же Вы хотите унифицировать это дело, то записывайте уравнение прямых в одинаковом виде: $ax+by+c=0$.

Я ещё раз отмечаю Ваше удивительное методическое чутьё и чувствую себя в нашем разговоре студентом на сдаче экзамена.

[ximikat]

Спасибо! Ничем не хотел Вас обидеть. Значит третья координата пока для меня ещё на уровне 7 класса недоступна, как я понял.

[gris]

Странно, я вроде бы написал Вам ответ ещё до обеда, а его нет. Может быть, неаккуратно отправил, торопясь.
Я вовсе не в обиде, даже наоборот! Участие в Вашей теме считаю для себя весьма полезным. Вы заставляете взглянуть на школьные задачи, на школьное обучение, на учебники по другим углом. Ставя на первый взгляд наивные и нарочито бестолковые вопросы, Вы неожиданно приоткрываете логические неувязки в устоявшихся представлениях, выявляете узкие места в стандартных учебниках, поддразниваете пытающихся на пальцах объяснить неоднозначные места в школьном курсе.
Многие из участников форума занимаются разъяснением задач вовсе не для того, чтобы блестнуть умением решить школьный пример, взять простенький интеграл или выручить ленивого студента. Часто интересует именно метологическая составляющая. Наиболее эффективно объяснить материал, научить школьника или студента математическому мышлению, на основе простой задачи подойти к пониманию им сложной теории — этому в свою очередь можно научиться или поделиться своими наработками в разделе помощи.
Я всё же не верю, что Вы девственны по математической части. Некоторые фразы выдают в Вас опытного и искушённого преподавателя, которому захотелось вот таким способом подзадорить своих коллег или просто любителей математики. Вот уж так вот сложилось такое мнение, извините. Поэтому я и отвечаю Вам серьёзно, подробно и с некоторой даже опаской, что мои объяснения Вы или Иные, отслеживающие тему, сочтут пустой болтовнёй.
Так что никаких обид. Вот так таки нет никаких обид. Просто как-то непонятны эти вот игры некоторых вполне добропорядочных товарищей (господ).

[ximikat]

Уважаемый gris! Хочу Вам сказать ещё раз спасибо за ту помощь, которую Вы мне предоставляете на этом форуме. Но хочу Вас огорчить - никакой я не учитель. А вот Вы для меня - самый настоящий учитель!

(Оффтоп)

На мою "фразеологию" не обращайте внимания - так уж пришлось мне долгое время общаться не только с культурными людьми, но и с людьми, которые являются настоящими профессионалами и специалистами в своих областях знаний. Жаль, что у меня нет такой возможности, как у этих одарённых личностей, постоянно заниматься изучением и изобретением чего-либо, а постоянно приходится мыкаться в поисках заработка. Но если бы у меня была возможность заниматься одним и тем же делом в жизни - я выбрал бы науку и отдал бы ей всю свою жизнь и никогда бы не сожалел об этом. Здесь, конечно, не место обсуждать какие-то философские вопросы, но я считаю, что у человека в жизни меньше случайного и больше неизбежного. О чём это я? О том, что человек может уходить от своей судьбы, и выигрывать в лотереи, но если уж чему суждено произойти в судьбе человека, того не миновать. Очень часто судьба сама находит человека и счастье поворачивается к нему лицом. Так и в моей жизни. Я всё время убегал от математики, а математика следовала всегда за мной, хоть я её и не замечал. Сегодня у меня в жизни, как это не удивительно, сразу несколько вопросов связанных с математикой - и пришли эти вопросы ко мне далеко не от моего желания выучить математику. Нет. Эти вопросы пришли сами собой. Так сказать бытовым путём. У меня было мечта в юности заработать много денег и открыть в моём районе (и даже в городе) кружок юных техников (или юных химиков). Всё дело в том, что бессовестные власти закрыли такой кружок (а я ходил в кружок юных техников больше года и посещал две секции в нём - кружок моделирования и радиокружок). Короче я тут всё про всё подсчитал, сколько надо денег, чтобы открыть такой кружок например, на общественных началах. Сумма составляет приблизительно 100 тысяч гривень в год. Но другой вопрос - где взять такую сумму. У меня у самого пока что зарплата очень маленькая. Поэтому я ищу все возможности заработать определённую сумму денег.
Один из вопросов, который меня интересует, касается именно одной математической формулы, которую придумал я (то, что такая формула уже есть, я не исключаю, но этой формулой пользуются те, кто зарабатывает деньги, и эта формула никогда не всплывёт нигде, поэтому я должен сам найти или составить такую формулу). У меня есть такая формула в сыром варианте, вернее это ещё не формула, а некоторый алгоритм действий, с помощью которого я собираюсь в будущем добывать деньги для себя, своей семьи и осуществления мечты. Формула эта касается теории вероятности (это я точно знаю на бытовом уровне). На практике формула составленная мною работает не очень хорошо, т.е. через раз. Но если её доработать, а это я смогу сделать самостоятельно, когда буду иметь достаточные математические знания, я смогу осуществить свою мечту. Но кроме этой цели - доработать свою формулу, у меня ещё есть и другие цели в жизни, где математика играет первостепенную роль (т.е. области, где без цифр и расчётов не обойтись никак).

Математика - царица всех наук!

[ximikat]

Здравствуйте!
Начал решать задачи по системе уравнений и вот задача, которую я решить не смог:

Два пешехода отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов $M$ и $N$, расстояние между которыми $38$ км. Через $4$ часа расстояние между ними сократилось до $2$ км, а ещё через $3$ часа первому пешеходу осталось пройти до пункта N на $7$ км меньше, чем второму до M. Найдите скорости пешеходов.

Моё решение:
Как обычно я пытался составить уравнение, но ничего не получалось. Т.к. до этого я решал только задачи, где за определённый промежуток времени что-либо двигалось в одном направлении. А тут получается оба пешехода сначала двигались друг к другу, а затем в разные стороны.

Значит сперва я разбил составление уравнения на две части. Тот промежуток, в на котором они шли друг к другу, и тот, на котором они шли в разные стороны.
1. Вот какое уравнение я составил:
$\left\{\begin{array}{l} {x+y=38} \\[5pt]{x-y=2} \end{array}\right$
Получилось $x=18$; $38-18=20$
Значит первый прошёл за $4$ часа $20$ км, второй прошёл $18$ км.
2. Теперь найдём скорости на пройденном пути:
$\frac{x=20}{4}=5$ километров в час
$\frac{y=18}{4}=4.5$ километров в час
3. В задаче ведь не сказано, что на протяжении пути их скорости менялись. Поэтому, я решил проверить - полученные мною скорости пешеходов не является ли ответом на задачи.
Поэтому задал вопрос - сколько пройдут пешеходы за следующие $3$ часа.
Первый пешеход пройдёт $3*5=15$ км; Второй пешеход $3*4.5=13.5$ км.
А поскольку первый пешеход уже прошёл за $4$ часа $20$ км, то за $7$ часов он должен пройти при данной своей скорости $20+15=35$ км.
Второй должен пройти $18+13.5=31.5$ км.
По условию задачи первому осталось после $7$ часов пути пройти до пункта на $7$ км меньше, чем второму. А по моему решению он уже прошёл $35$ км. И ему осталось пройти до пункта всего $3$ километра, что не соответствует условию задачи. К тому же второй прошёл меньше него всего лишь на $35-31.5=3.5$ км.
4. Делаю вывод, что это решение задачи неправильно.

Пробовал я решить и другими способами, но пока что у меня решение не получается.

[ИСН]

ximikat, у Вас переменная - это какой-то универсальный юридический представитель объекта, у неё все документы, она всё помнит, в ней и координата сейчас, и через час, и расстояние оттуда, и отсюда, и вычитается она с правильным знаком, и всё такое.
А это же не так.
Переменная - это одна величина. Она значит что-то конкретное, например, количество денег у персонажа в 12:30 (если, допустим, Вы ввели такую переменную). Она значит что-то одно. Только это, и ничего больше.
Так запишите это что-то жирным шрифтом вверху листа, и ему следуйте. Типа "я ввёл переменную $x$, она значит..."

[MrDindows]

Всё неправильно =(

Для начала, пешеходы двигаются навстречу!
В начале между ними было расстояние $38$ км. Через $4$ часа оно стало $2$ км. Значит сколько они вместе прошли за $ 4$ часа? $38-2=36$ км. Тоесть за $1$ час они вместе проходили $36/4=9$ км.
$x+y=9$
$x$ , $y$- ихние скорости!
Теперь попробуем составить второе уравнение.
"Ещё через 3 часа..." - тоесть всего прошло 7 часов. Сколько за это время прошёл первый?
$7x $
значит сколько ему осталось идти..?
$36-7x$
Попробуйте дальше сами..

[spaits]

MrDindows в сообщении #415409 писал(а):

Всё неправильно =(

Для начала, пешеходы двигаются навстречу!
В начале между ними было расстояние $38$ км. Через $4$ часа оно стало $2$ км. Значит сколько они вместе прошли за $ 4$ часа? $38-2=36$ км. Тоесть за $1$ час они вместе проходили $36/4=9$ км.
$x+y=9$
$x$ , $y$- ихние скорости!
Теперь попробуем составить второе уравнение.
"Ещё через 3 часа..." - тоесть всего прошло 7 часов. Сколько за это время прошёл первый?
$7x $
значит сколько ему осталось идти..?
$36-7x$
Попробуйте дальше сами..

У Вас х означает скорость (в км/ч) первого, у - скорость второго пешехода. У Химиката - что-то другое (путь, пройденный обеими за 4 часа).
Я решаю дальше в ваших обозначениях, MrDindows.
Вы нашли, что х+у=9. За 7 часов оба прошли 9*7 =63 км. 2MN=2*38=76 км. Значит, через 7 часов им обеим вместе осталось пройти 79-63=13 км. Ну и известно, что первому осталось пройти на 7 км меньше, чем второму. Следовательно, первому осталось пройти 3 км, второму 10 км. А прошли они за 7 часов, даже Химикату понятно будет, первый 38-3=35 км, второй 38-10=28 км. Время одинаково, значит, отношение путей равно отношению скоростей: х:у=35:28=5:4; сумма величин известна: х+у=9.
Пусть меня не ругает модератор, но я хочу показать, как легко найти х и у без составления уравнений, если известна сумма и отношение величин: 5+4=9; х=5/9 х = 5; у=4/9 х = 4.
Почему в школе для решения таких задач почти всегда составляют систему уравнений?
Ответ: скорости пешеходов 5 км/ч и 4 км/ч. Привет Химикату!

[MrDindows]

spaits в сообщении #415435 писал(а):

Почему в школе для решения таких задач почти всегда составляют систему уравнений?

Да, конечно цепочка логических рассуждений это хорошо, но лично мне ближе уравнения.
Объясню почему: Составляя уравнение, большей мерой приходиться лишь проанализировать условие: принять неизвестные величины за переменные и все даные в условии использовать в уравнениях.
А дальше уже, не вникая в суть задачи, не путаясь с условием и тд, спокойно найти решения уравнений. Также это сэкономит время и мозги=) Ну конечно надо уметь нормально решать уравнения.

[ximikat]

Здравствуйте, ребята!
MrDindows, spaits спасибо, что помогли мне по прошлой задаче. Я к сожалению ответить не смог в тот день, т.к. неожиданно у меня подскочила температура и сейчас я болею гриппом.

Сегодня ещё одна задача. Самое интересно в том, что у меня уже получилось составить систему уравнений, а решить её не получается.
Вот задача:

Из пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми $30$ километров, навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через $3$ часа $20$ минут. Если бы первый вышел на $2$ часа раньше второго, то встреча произошла бы через $2.5$ часа после выхода второго. Найдите скорость пешеходов.

Моё решение
1. Составляю первое уравнение и второе, получается система уравнений:
$\left\{\begin{array}{l} {\frac{10}{3}x+\frac{10}{3}y=30} \\[5pt]{4.5x+2.5y=30} \end{array}\right$
2. Теперь пытаюсь вычислить это уравнение при помощи метода подстановки.
В первом уравнении выражаю $x$ через $y$:
$\frac{10}{3}x+\frac{10}{3}x=30$
$\frac{10}{3}x=30-\frac{10}{3}y$
$x=30*\frac{3}{10}-\frac{10}{3}y*\frac{3}{10}$
$x=9-y$

Подставляю $x$ во второе уравнение:
$4.5(9-y)+2.5y=30$
$40.5-4.5y+2.5y=30$
$-2.5y=-10.5$ $y=4.2$
Тогда $x$:
$x=9-4.2=4.8$
Но с ответом моё решение не совпадает.
Значит я где-то допустил ошибку в вычислениях. А где, не пойму?