"Обращение" функции

[lopuxov]

Возможно ли выразить $k(x)$ через $x$

$x=-\ln((1/k(x)-b)^{1/2}+c)+\ln(1/k(x))+\arctg(d(k(x)-b)^{1/2})$?

$a,b,c,d$ - постоянные.

[arseniiv]

Попробуйте немного упростить, собрать два логарифма в один. Боюсь, всё же в элементарных функциях не выразится такое. Это вы получили, интегрируя что-то?

[venco]

lopuxov в сообщении #313574 писал(а):

Возможно ли выразить $k(x)$ через $x$

$x=-\ln((1/k(x)-b)^{1/2}+c)+\ln(1/k(x))+\arctg(d(k(x)-b)^{1/2})$?

$a,b,c,d$ - постоянные.

А вы точно правильно всё написали? А то "размерности" $k$ и $b$ под логарифмом и арктангенсом не сходятся.

[arseniiv]

lopuxov, а если вам нужно находить $k$ по значениям $x$, то есть ведь и численные методы! Конечно, вполне может оказаться, что $k(x)$ — не тотальная (т. е. не для всех $x$ найдётся $k$), и даже многозначная функция. Но всё это не проблема, когда вы знаете, чего от этой функции хотите.

[lopuxov]

Да, упростить можно немного, но выразить все равно не получается.
То, что получил - да, интегрировал кое-что.
Написал все правильно, т.к. $a,b,c,d$ - просто числа.
arseniiv, спасибо за совет, если ничего не выйдет, можно и к численным методам обратиться.

[arseniiv]

Но всё равно логарифм один сделайте по формуле $\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$, для вычислений будет, скорее всего, удобнее.

[lopuxov]

Спасибо!

[lopuxov]

Я все пересчитал и вместо первой функции должна быть следующая $x=(1/k(x)+k(x)-$ arctanh$(k(x)))$. Выглядит проще. Можно выразить $k(x)$?

[arseniiv]

$x = 1/y + y - \operatorname{Arth} y$ Нет. В этом случае "мешает" гиперболический арктангенс.

[lopuxov]

Здравствуйте!

Тогда у меня возникла такая проблема из физики, а теперь - из экономики. Тут, думаю, попроще. Дифференциальное уравнение такое:

$dx/dt=sx^{\alpha}-ax, s<1, \alpha<1$

Его решение такое:

$(\frac{x}{sx^{\alpha-1}-a})^{-1/a}=e^{t}$

Нужно теперь получить зависимость $x(t)$. Возможно ли это как-нибудь сделать?

[Someone]

Что-то подозрительное. Это ведь уравнение Бернулли, а оно решается явно:
$\frac{dx}{dt}+ax=sx^{\alpha}$.
(При $0<\alpha<1$ оно имеет особое решение $x=0$.)

[lopuxov]

Спасибо!