2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите, пожалуйста, решить предел!
Сообщение12.11.2006, 15:49 


12/11/06
2
Москва
Господа!
Помогите решить предел
$\lim\frac {2^x-3x+1}{x-1}$ при $x$ стремящимся к $1$.
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 16:21 


26/09/05
530
$2\cdot \ln(2)-3$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 16:58 


12/11/06
2
Москва
Огромное спасибо!
Может быть ход решения подскажите? Хочется разобраться! :oops:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 18:02 


17/09/05
121
Применяется правило Лопиталя

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.11.2006, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Ну зачем же правило Лопиталя? Тем более, что оно использует производную показательной функции, которая получается из замечательного предела. Не проще ли к этому пределу и свести?

$$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{2^x-3x+1}{x-1} = \lim_{x\rightarrow 1} (2\frac{2^{x-1}-1}{x-1} - 3)=2\ln 2 - 3$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.11.2006, 23:26 


17/09/05
121
Да, пожалуй, Вы правы.

Способ решения сильно зависит от времени, когда оно нужно :D

Если это математический анализ на первом курсе до изучения производных, тогда особенно разумно сводить к замечательному пределу :lol:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
А по-моему, проще заметить, что надо найти производную $2^x-3x+1$ в точке 1. Это даже школьники должны уметь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.11.2006, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
bot писал(а):
Ну зачем же правило Лопиталя? Тем более, что оно использует производную показательной функции, которая получается из замечательного предела.

Время разбрасывать камни и время собирать камни. Какая разница, как получается производная показательной функции? Если она уже есть, проще ей воспользоваться, и воспользоваться правилом Лопиталя. Никаких логических кругов этот метод не содержит. А что доказательство не кратчайшее в целом — так Бог с ним. Главное, что освоен общий метод, дающий локально-быстро результат.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2006, 07:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Как верно заметил RIP (сам я забыл отметить), что по сути вычисление этого предела и есть вычисление производной экспоненты. Применение правила Лопиталя в этой ситуации означает порочный круг.
К правилу Лопиталя, точнее к тому, что студенты начинают им пользоваться без разбора и механически, оставляя в стороне проверку условий его применимости, отношусь отрицательно. Универсальная палочка-выручалочка очень часто проигрывает другим способам, не говоря уже о том, что может давать сбой - в случаях, когда предела отношения производных нет, студент часто заявляет, что и исходного предела нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2006, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
bot писал(а):
оставляя в стороне проверку условий его применимости

не говоря уже о том, что может давать сбой - в случаях, когда предела отношения производных нет, студент часто заявляет, что и исходного предела нет

Я считаю, что это один из дефектов обучения — когда студенты не понимают границ применимости метода. Это же замечательно, что можно как следует выпороть на правиле Лопиталя. Я, например, люблю гонять по области определения функции.

Что касается универсальных методов, то (в пределах области применимости) у них есть большое достоинство перед специальными. Их можно применять, не думая. Оставляя творческую работу на остальные части проблемы (которая часто не сводится к правилу Лопиталя или неравенству Коши-Буняковского).

А что касается порочного круга, то если приглядется, нет его. От доказательства никто не требует, чтобы оно не опиралось дважды на один и тот же факт. Не требуется и минимальное по полной длине доказательство. Да, вычисление производной сводится к замечательному пределу. Да, этот предел можно применить непосредственно. Ну и что? Это отменяет применимость правила Лопиталя? Или правильность вычисленной производной? Мы же не пытаемся обосновать замечательный предел через производную (это был бы порочный круг).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.11.2006, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Всё-таки следует различать, с какой целью считается предел. Тот, интересуется значением этого предела для своих надобностей, отличных от сдачи его преподавателю, может такими тонкостями не заморачиваться - ему ведь нужен ответ, а не доказательство. Правда, даже это сомнительно - можно получить и неверный ответ.

А вот что скажет препод, если принести ему пролопиталенными следующие пределы?

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x - 1}{x}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$$

В случае, если производных ещё не проходили - это порочный круг. А даже если и прошли - любой препод поморщится и почти любой заставит вывести соответствующую формулу для производной, даже если предел будет слегка отличаться от замечательного:

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin 5x}{x}$$

Ну, а границы этого "слегка" наверно у разных преподов разные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group