2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение19.01.2011, 20:56 
Аватара пользователя


13/01/11

119
Вильнюс
centra в сообщении #401698 писал(а):
а не решая, можно как-то определить тип данного уравнения?

задача учебная, и никакого отношения к прикладной математике не имеет.

я перерыла, наверное, половину (если не больше) всех книг, которые сущ-ют по урматам, но не смогла найти классификацию по типам для уравнений выше второго порядка ( написано : "Классификация ЛДУ с большим числом переменных почти аналогична.").на семинарах такое не рассматривалось, а ведь для уравнения второго порядка задача определения типа элементарна и решается в одну строчку. может все таки существет классификация для уравнений четвертого порядка, но я просто не могу ее найти? просто у меня ощущение, что если я принесу преподавателю предложенное решение, то он начнет говорить, что не надо изобретать велосипед, и в назидание даст еще какую-нибудь задачу, чего мне очень бы не хотелось :? :evil:

Можно определить и не решая.
Если вопрос только о классификации, то всё решается в одну строчку.
Исходя из утверждения: Что тип уравнений порядка выше 2 решается аналогично ур-ниям второго порядка, то это ур-ние параболическое (относительно кубической параболы - такак сводится подстановкой $U(x,t)_{t}=F(x,t)$) - к уравнению параболического типа.

-- 19 янв 2011, 20:06 --

К вопросу о классификации:
Вы уже и сами класифицировали, но если хотите повторю:
В общем смысле это линейное однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных.
Замена $U(x,t)_{t}=F(x,t)$ - сводит уравнение к уравнению третьего порядка.

-- 19 янв 2011, 20:10 --

centra в сообщении #401698 писал(а):
а не решая, можно как-то определить тип данного уравнения?

задача учебная, и никакого отношения к прикладной математике не имеет.

я перерыла, наверное, половину (если не больше) всех книг, которые сущ-ют по урматам, но не смогла найти классификацию по типам для уравнений выше второго порядка ( написано : "Классификация ЛДУ с большим числом переменных почти аналогична.").на семинарах такое не рассматривалось, а ведь для уравнения второго порядка задача определения типа элементарна и решается в одну строчку. может все таки существет классификация для уравнений четвертого порядка, но я просто не могу ее найти? просто у меня ощущение, что если я принесу преподавателю предложенное решение, то он начнет говорить, что не надо изобретать велосипед, и в назидание даст еще какую-нибудь задачу, чего мне очень бы не хотелось :? :evil:


В общем смысле класифицируется так:
Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных четвёртого порядка.
Замена $U(x,t)_{t}=F(x,t)$ - сводит исходное уравнение к уравнению третьего порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение19.01.2011, 21:47 


16/01/11
15
оно элементарно классифицируется кроме вопроса о его гиперболичности, параболичности или эллиптичности. я умею классифицировать уравнения второго порядка - делаю это стандартно, выписывая коэффициенты, и рассчитывая некую величину $b^2 - ac$, а затем смотрю знак полученной величины. уравнения третьего порядка я уже не умею классифицировать, насколько понимаю, надо тоже выписать все коэффициенты и посчитать какую-то величину. мне непонятно какую. ее явный вид. ...или откуда можно его получить? ...или где прочитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение20.01.2011, 00:04 
Аватара пользователя


13/01/11

119
Вильнюс
centra в сообщении #401924 писал(а):
оно элементарно классифицируется кроме вопроса о его гиперболичности, параболичности или эллиптичности. я умею классифицировать уравнения второго порядка - делаю это стандартно, выписывая коэффициенты, и рассчитывая некую величину $b^2 - ac$, а затем смотрю знак полученной величины. уравнения третьего порядка я уже не умею классифицировать, насколько понимаю, надо тоже выписать все коэффициенты и посчитать какую-то величину. мне непонятно какую. ее явный вид. ...или откуда можно его получить? ...или где прочитать?


К сожалению об этом вопросе ничего не могу сказать кроме того, что это
Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных четвёртого порядка.
Заменой с подстановкой $U(x,t)_{t}=F(x,t)$ - сводится к уравнению третьего порядка, которое по виду напоминает параболическое, но к сожалению для уравнений выше 2-ого порядка класификация определяется сложнее, как именно пока не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение20.01.2011, 00:25 


26/12/08
1813
Лейден
centra
Обычно когда дают уравнение и просят определить его тип, дана классификация. Данное уравнение думаю в общем случае не сводится к уравнению второго порядка, для которых классификация хорошо известна. Поэтому у меня 2 предположения - либо у Вас опечатка в задании и там можно 2 раз проинтегировать, либо Вам была дана классификация уравнений 3го порядка. Иначе логика действа отсутствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение20.01.2011, 05:29 


16/01/11
15
а если у нас дано какое-то ЛДУ, и мы его проитнегрировали несколько(!) раз и получили уравнение второго порядка, то тип исходного уравнения будет эквивалентен полученному?

а если не интегрировали, а сделали замену? тоже эквивалентность типов полученных уравнеий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение20.01.2011, 05:49 
Аватара пользователя


13/01/11

119
Вильнюс
А вот этот вопрос я бы поднял:
Если мы сделали замену в каком то уравнении и свели его к уравнению определённого типа:
Например в полных дифференциалах. Было исходное уравнение, заменой и подстановкой мы преобразовали его в уравнение, например, Бернулли - то исходное уравнение - модифицированное уравнение Бернули;
Должно быть также и в случае с уравнениями в частных производных.
Но только вам это не поможет, в вашем случае уравнение не сводится к уравнению порядка ниже трёх.

-- 20 янв 2011, 05:06 --

А вообще класификация диф. ур-ний в частных производных второго порядка во многом условна и опирается на тот факт, что уравнение по виду напоминает уравнение той или иной кривой: эллипса, параболы, гиперболы.
Я думаю что класификация по критериям: То есть вид производных (частные полные),
линейность, однородность, порядок более обьективна. Подразделение на параболические, элиптические, гипрболические ур-ния пришло в математику ввиду первичности составления уравнений этих типов математиками (нпр. Ур-ния Лапласа, Колебания струны, Теплопроводности) и поэтому такая классификация сохраняется до сих пор.
С появлением дифференциальной геометрии математической физики и топологии эта классификация утратила актульность и первоочерёдность.
Думаю можее эту фразу повторить преподователю я будучи преподователем оценил бы её высоко.
Она показывает что вы интересуетесь предметом не в узком смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение20.01.2011, 13:36 


16/01/11
15
спасибо=)

(Оффтоп)

с годами люди устают и большинство преподавателей за 40 подходят к оценке знаний студента весьма формально - по типу есть ответ, нет ответа, но я попробую объяснить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение20.01.2011, 13:41 


26/12/08
1813
Лейден
Aleksandrito
Оно не только напоминает вид кривой, но и характеристиками также идет совпадение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение21.01.2011, 17:54 


16/01/11
15
Оказывается, все достаточно просто. Чтобы определить тип уравнения выше второго порядка нужно:
Записать характеристическое уравнение, приравнять его к 0. Потом записать сопутствующую систему ОДУ и найти характеристики. Если характеристик нет - это эллиптический тип, если их количество равно порядку уравнения - гиперболический, если их количество меньше, чем порядок уравнения - параболический.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение22.01.2011, 23:17 
Аватара пользователя


13/01/11

119
Вильнюс
если вы имели ввиду такое характерестическое уравнение:
$k^2(k^2-1)=0;$
$D1=0-4 \cdot 1 \cdot 0 =0; \\
D2=0-4 \cdot 1 \cdot\ (-1) > 0;$
Для неполного уравнения 4-ой степени выражение дискриминанта не помню :oops:
По двум приведенным выражениям может быть как гиперболическое так и параболическое;

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение типа уравнения.
Сообщение23.01.2011, 01:19 
Аватара пользователя


13/01/11

119
Вильнюс
По общему определению Дискриминант:
$D=a_{0}^{2n-2}\prod_{i=1}^{n}_{i<k}(\alpha_{k}-\alpha_{i}) = \\

=1 (-1-0) (1-0)  (1+1) (j-1) (j-0) (j+1)  (-j-1)  (-j-0)  (-j+1)  (-j-j)=-4j; \j= \sqrt{-1} $

То дискриминант - комплексное число с реальной частью равной нулю и исходное уравнение - параболическое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group