2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Базовые определения в курсе матана
Сообщение16.01.2011, 23:34 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Padawan в сообщении #400603 писал(а):
Вот Вам еще контрпример: теорема Штольца. Не представляю, как её без $\varepsilon-\delta$ доказать.

Напомню, что окрестностью $a \in \mathbb{R}$ предлагается считать всякий интервал $(b,c)$, для которого $b < a < c$, а окрестностью $+\infty$ --- интервал $(b,+\infty)$.

Лемма 1. Если $U$ --- окрестность и $x/y, x'/y' \in U$ для положительных $y,y'$, то $(x + x')/(y + y') \in U$.

Доказательство. Пусть $U = (b,c)$. Тогда $(x + x')/(y + y') - b = (x - by + x' - by')/(y + y') > 0$. При $c < +\infty$ аналогично $c - (x + x')/(y + y') > 0$. $\qed$

Следствие. Пусть $\lim_n (x_{n+1} - x_n)/(y_{n+1} - y_n) = a$. Тогда для любой окрестности $U$ точки $a$ существует $N$, для которого $(x_n - x_N)/(y_n - y_N) \in U$ при всех $n > N$.

Пусть теперь $\lim_n (x_{n+1} - x_n)/(y_{n+1} - y_n) = a$ и последовательности $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}, \{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ --- такие, как в условии теоремы Штольца. Пусть $U$ --- произвольная окрестность $a$. Выберем окрестность нуля $V$ и окрестность $U'$ точки $a$ такие, что $U \supseteq U' + V$. Имеем
$$
\frac{x_n}{y_n} = \left( \frac{x_N - ay_N}{y_n} + a \right) + \left(1 - \frac{y_N}{y_n} \right) \left( \frac{x_n - x_N}{y_n - y_N} - a \right)
$$
Выберем $N$, для которого второе слагаемое попадает в $V$ при всех $n > N$. Для этого $N$ первое слагаемое попадает в $U'$ при всех достаточно больших $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базовые определения в курсе матана
Сообщение17.01.2011, 11:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А вот как надо было доказывать. Обозначим $\alpha_k\equiv a_k-a_{k-1},\ \alpha_0\equiv a_0$ и, соответственно, $\beta_k\equiv b_k-b_{k-1},\ \beta_0\equiv b_0$. Тогда $a_n=\sum_{k=0}^n\alpha_k$ и $b_n=\sum_{k=0}^n\beta_k$. Утверждение теоремы сводится к следующему: если $\beta_k$ положительны (начиная с некоторого номера) и $\sum_{k=0}^n\beta_k\to+\infty$ при $n\to\infty$, то из $\alpha_n\beta_n^{-1}\to c$ следует $\sum_{k=0}^n\alpha_k\cdot\left(\sum_{k=0}^n\beta_k\right)^{-1}\to c$.

В такой постановке утверждение уже практически очевидно. Поскольку полная сумма уходит на бесконечность, любые начальные участки сумм не играют существенной роли. А поскольку на далёких участках $\alpha_k$ и $\beta_k$ примерно пропорциональны -- это же относится и к их суммам. И эти соображения очень легко и, главное, совершенно очевидным образом формализуются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базовые определения в курсе матана
Сообщение17.01.2011, 15:16 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Что-то длинная чересчур формализация получается. Стандартным способом короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Базовые определения в курсе матана
Сообщение17.01.2011, 15:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Да?... Собственно доказательство.

По любому $\varepsilon>0$ выберем сначала $m$ так, чтобы при всех $n>m$ было $\beta_n>0$ и при этом

$\left|\frac{\alpha_n}{\beta_n}-c\right|<\frac{\varepsilon}{3}\quad\Leftrightarrow\quad (c-\frac{\varepsilon}{3})\beta_n<\alpha_n<(c+\frac{\varepsilon}{3})\beta_n\qquad(1)$

(это возможно, т.к. $\frac{\alpha_n}{\beta_n}\to c$). Далее, выбираем $N>m$ так, чтобы при всех $n>N$ выполнялось

$\big|\sum_{k=0}^m\alpha_k\big|<\frac{\varepsilon}{3}\sum_{k=0}^n\beta_k,\qquad\left|(c\pm\frac{\varepsilon}{3})\sum_{k=0}^m\beta_k\right|<\frac{\varepsilon}{3}\sum_{k=0}^n\beta_k,\qquad(2)$

(можно, т.к. левые части этих неравенств фиксированы, правые же уходят на бесконечность с ростом $n$). Из (1) следует, что

$(c-\frac{\varepsilon}{3})\sum\limits_{k=m+1}^n\beta_k<\sum\limits_{k=m+1}^n\alpha_k<(c+\frac{\varepsilon}{3})\sum\limits_{k=m+1}^n\beta_k,$

что в сочетании с (2) даёт

$(c-{\varepsilon})\sum\limits_{k=0}^n\beta_k<\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k<(c+{\varepsilon})\sum\limits_{k=0}^n\beta_k.$

Итого: по любому $\varepsilon>0$ найдётся такое $N$, что при всех $n>N$ выполнено $\left|\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^n\beta_k\right)^{-1}-c\right|<\varepsilon$, ч.т.д.

Это не длиннее, чем у Фихтенгольца, но зато сознательно. Никаких трюкачеств, все шаги фактически вынужденны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group