2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Постоянная Эйлера
Сообщение18.02.2007, 03:40 
М.Кац,С.Улам. Математика и логика. Ретроспектива и перспектива:
Цитата:
Существуют числа, для которых до сих пор не установлено, рациональны они или нет, несмотря на то, что легко описать, как они получены. Одним из таких чисел является постоянная Эйлера, определяемая следующим образом. Рассмотрим ряд 1+${\frac{1}{ 2}}$ + $\frac{ 1}{ 3}$+...+$\frac{1}{n}$+...; n-я частная сумма (т.е. сумма первых n членов) этого ряда близка к log n. Разность между этой суммой и log n при возрастании стремится к некоторому пределу; его называют постоянной Эйлера и обозначают буквой С. Известно, что C \approx 0,6. Несмотря на старания многих математиков, вопрос о том, рационально или нет число C, остался открытым; вполне возможно, что оно даже не алгебраическое!

Это было написано, примерно в 1970 годы. А что теперь - это до сих пор не выяснено? И имеет ли постоянная Эйлера какую-то связь с другими разделами теории чисел (простые числа и т.д.)?

 
 
 
 
Сообщение18.02.2007, 03:42 
Аватара пользователя
См. http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html

 
 
 
 
Сообщение19.02.2007, 12:27 
maxal писал(а):


Спасибо за ссылку...

Выходит, что воз и ныне там... За это время...

 
 
 
 
Сообщение19.02.2007, 12:40 
Константа Эйлера сложная для доказательства иррациональности. Пока не решён даже вопрос о существовании рациональных $r_1,r_2$, что $\pi =er_1+r_2.$

 
 
 
 
Сообщение19.02.2007, 16:19 
Руст писал(а):
Константа Эйлера сложная для доказательства иррациональности. Пока не решён даже вопрос о существовании рациональных $r_1,r_2$, что $\pi =er_1+r_2.$


Здесь e - это основание натуральных алгоритмов?
А для других математических констант - \varphi=er_1+r_2 ?

 
 
 
 
Сообщение19.02.2007, 16:56 
Macavity писал(а):
$\pi =er_1+r_2.$
Здесь e - это основание натуральных алгоритмов?
А для других математических констант - \varphi=er_1+r_2 ?

Да.

 
 
 
 Иррациональность постоянной Эйлера
Сообщение21.02.2009, 15:59 
Как доказать, что число $$\lim\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}-\ln n\right)$$ иррационально? Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение21.02.2009, 16:03 
Неизвестно, является ли постоянная Эйлера рациональным числом.
Как сказано в "Конкретной математике", если кто и знает, то молчит ))

 
 
 
 
Сообщение22.02.2009, 23:14 
Аватара пользователя
http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html

The famous English mathematician G. H. Hardy is alleged to have offered to give up his Savilian Chair at Oxford to anyone who proved $\gamma$ to be irrational (Havil 2003, p. 52), although no written reference for this quote seems to be known. Hilbert mentioned the irrationality of gamma as an unsolved problem that seems "unapproachable" and in front of which mathematicians stand helpless (Havil 2003, p. 97). Conway and Guy (1996) are "prepared to bet that it is transcendental," although they do not expect a proof to be achieved within their lifetimes.

 
 
 
 
Сообщение24.02.2009, 15:44 
Спасибо, maxal! Не знал. Эту задачу мне мои ученики дали на выходные! :D

 
 
 
 Константа Эйлера-Маскерони иррациональна?
Сообщение03.07.2010, 13:06 
Недавно узнал, что никто не знает - константа Эйлера-Маскерони
$$\gamma  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1}
{2} +  \cdots  + \frac{1}
{n} - \ln n} \right) \approx 0,577$$
иррациональна?
http://mathworld.wolfram.com/Euler-Masc ... stant.html
http://myyn.org/m/article/eulers-constant/

Интересно знать с чем это связано.
Не известны формулы для $\gamma$ по структуре столь же простые как для $\pi $ и $e$, например,
$$\frac{\pi }
{4} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \frac{1}
{3} + \frac{1}
{5} -  \cdots  + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}
{{2n - 1}}} \right),$$,

$$\gamma  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \frac{1}
{2} +  \cdots  + \frac{1}
{n} - \frac{1}
{{n + 1}} - \frac{1}
{{n + 2}} -  \cdots  - \frac{1}
{{{n^2}}}} \right).$$

 i  Темы объединены.

 
 
 
 Re: Константа Эйлера-Маскерони иррациональна?
Сообщение03.07.2010, 13:17 
Аватара пользователя
"Бог не загромождает мир огромными знаменателями" (Эйнштейн). Маловероятно, что она рациональна, но доказать обратного пока не удалось.

 
 
 
 Re: Постоянная Эйлера
Сообщение08.07.2010, 16:25 
Аватара пользователя
А как вы оцениваете эту "малую вероятность"?

 
 
 
 Re: Постоянная Эйлера
Сообщение09.07.2010, 12:52 
Аватара пользователя
Вероятность того, что случайно выбранное число окажется алгебраическим, равна нулю :)

 
 
 
 Re: Постоянная Эйлера
Сообщение17.01.2011, 04:00 
Аватара пользователя
Ирациональность числа в общем смысле определяется отсутвием периодичности в значениях числа.
Поэтому для меня вопрос о иррациональности константы Эйлера как и числа $\pi $ давно закрыт.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group