2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить число
Сообщение11.11.2006, 16:43 


21/06/06
1721
Если записать весь натуральный ряд, а затем перед первой единицей поставить десятичную точку, а после стереть все запятые, разделяющие числа натурального ряда, то можно ли получить точное значение такого числа?

Кстати а действительно ли, что данное число будет иррациональным?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 16:47 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
То, что получается иррациональное число, дают доказать и школьникам. На самом деле это число является даже транцендентным.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 00:49 


21/06/06
1721
Ну честно говоря, я вот не помню, чтобы нам в школе об этом говорили. (Хотя это, конечно, не оправдание).

Я бы рассуждал так:
Обозначим наше число через x и рассмотрим сечение A|A' в области рациональных чисел, определяющее это число. Покажем, что в нижнем классе нет наибольшего числа. Пусть r - некоторое рациональное число, принадлежащее нижнему классу. Тогда поскольку оно меньше x, в его десятичном разложении 0.y1y2... и так далее, найдется такой десятичный знак yn, который будет меньше соответствующего десятичного знака xn в разложении нашего числа. Пусть этот десятичный знак есть цифра, стоящая а определенном разряде определенного натурального числа, образующего наше искомое число x. Тогда если она не стоит в разряде единиц, увеличение числа y так, чтобы новое увеличенное число продожало оставаться меньше x, не представляет труда. Для этого достаточно соответствующие десятичные разряды числа y заменить другим натуральным числом, которые больше искомых, но меньше тех, которые стоят на соответствующих местах у числа x. (Это всегда возможно, так как здесь задача сводится к выбору натурального числа между двумя данными, разница между которыми, по меньшей мере десяь). Аналогично это можно сделать и в том случае, когда рассматриваемый нами десятичный знак стоит в разряде единиц, но разница между ними больше 1 (от 2 и далее). Здесь мы тоже можем вставить новое рациональное число. Ну разумеется и на этом оборвать разложение. Тогда, легко видеть, что новое построенное рациональное число будет больше y и все также меньше x. Ну и, наконец, случай, когда такой разряд падает на единицы, в некотором натуральном числе, участвующем в образовании числа x. В этом случае новое рациональное число мы получаем просто, прописыванием этого натурального числа на соответствующие места в десятичных разрядах числа y и с последующеим еще приписыванием единицы. Также ясно, что построенное таким образом число больше исходного y b продолжает быть меньшим числа x.

Таким образом мы видим, что в нижнем классе сечения в области рациональных чисел нет наибольшего. Аналогично показываем, что в верхнем классе этого сечения нет наименьшего. А, следовательно (Фихтенгольц, том 1, Введение), указанное сечение в области рациональных чисел определяет иррациональное число.

Пожалуйста, поправьте, если есть ошибки в рассуждении.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 03:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Всякое рациональное число разлагается в периодическую запись. Очевидно, что данное число не имеет периода (достаточно дойти до достаточно больших чисел).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 06:16 


21/06/06
1721
Я просто в определение рационального и иррационального числа кладу определение из Фихтенгольца. Т.е рациональные - это суть те, которые могут быть представлены отношением двух целых и ноль, а затем сечения в области рациональных чисел, при этом иррациональные - это те, которые представляются сечениями, у которых в верхнем классе нет наименьшего, а в нижнем - наибольшего.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.11.2006, 07:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Да кто бы спорил. Но доказывать все «от определения» — это как-то … странно. Для этого и существуют теоремы, чтобы уверенно стоять (и подпрыгивать) на плечах и головах гениев :) .

Если Вас интересует доказательство периодичности записи для рационального числа — это законный вопрос, но и он решается на школьном уровне (малая теорема Ферма). Дальше проще всего плясать от периодичности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить число
Сообщение13.11.2006, 13:09 
Заслуженный участник


05/09/05
515
Украина, Киев
Sasha2 писал(а):
Если записать весь натуральный ряд, а затем перед первой единицей поставить десятичную точку, а после стереть все запятые, разделяющие числа натурального ряда, то можно ли получить точное значение такого числа?


Непонятно, что в данном случае означает "точное значение такого числа".
Тем не менее вот статья, в которой описывается число \Omega, имеющее бесконечное число неприводимых битов:
Грегори Чейтин.Пределы доказуемости.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group