2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 06:32 
Аватара пользователя


06/03/09
240
Владивосток
Если $\mathcal{A}:E \rightarrow F$ - линейный ограниченный оператор, $E,F$ линейные нормированные пространства, то нормой оператора называют(одно из определений) $\| \mathcal{A}\| = \sup\limits_{\|x\| \leq 1} \|\mathcal{A}x\|$. А теперь собственно сам вопрос: почему в определении нормы супремум можно брать по единичной сфере а не шару, т.е. почему $\| \mathcal{A}\| = \sup\limits_{\|x\| = 1} \|\mathcal{A}x\|?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 06:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Потому что оператор линеен. Пусть $x \in E, \ \|x\| <1,$ тогда существуют $\alpha \in [0,1), \ x_0 \in E: $

$$x=\alpha x_0, \quad \|x_0\|=1 $$
Это значит $\| \mathcal A(x)\| = \|\mathcal A(\alpha x_0)\|  =  \|\alpha \mathcal A(x_0)\| =\alpha\|\mathcal A(x_0)\|< \|\mathcal A(x_0)\|$
Поэтому супремум по всему шару не превосходит супремума по сфере.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 07:40 
Аватара пользователя


06/03/09
240
Владивосток
элементарно же, что-то я сглупил) спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 08:42 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Занудства ради стоит добавить условие $E\ne\{0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 13:14 
Аватара пользователя


06/03/09
240
Владивосток
Еще вопросик, только теперь про сопряженные операторы.
В гильбертовом пространстве оператор $\mathcal{A}^*$ называется сопряженным к оператору $\mathcal{A}$, если $(\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}^*y)$. Утверждается, что $\|\mathcal{A}\| = \|\mathcal{A}^*\|$. оценку $\|\mathcal{A}^*\| \leq \|\mathcal{A}\|$ получил легко. Обратно не могу. Чувствуется, что нужно использовать одно из следствий теоремы Хана-Банаха о существовании функционала $f$ такого, что $\|f\| = 1$ и для некоторого $x$ выполняется $f(x) = \|x\|$. Подскажите как начать. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 17:33 


26/12/08
1813
Лейден
Чему равно $||\mathcal{A}^* x||$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 17:46 
Аватара пользователя


06/03/09
240
Владивосток
Возможно, имелось ввиду $\|\mathcal{A}^* x\|$, да чему угодно это может быть равно :| В общем не понятен вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 18:13 


26/12/08
1813
Лейден
Да, норма - исправил. Запишите определение, чему равна норма такого вектора.

-- Сб янв 08, 2011 19:15:28 --

Подсказка - через скалярное произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение08.01.2011, 18:53 
Аватара пользователя


06/03/09
240
Владивосток
хмм, действительно получается, только немного по-другому:
$\|\mathcal{A}x\|^2 = (\mathcal{A}x, \mathcal{A}x) = (x, \mathcal{A}^*\mathcal{A}x) \leq \|x\| \cdot \|\mathcal{A}^*\|\cdot\|\mathcal{A}x\|,$ откуда $\|\mathcal{A}x\| \leq  \|\mathcal{A}^*\|\cdot\|x\| $, ну и тогда получается оценка $\|\mathcal{A}\| \leq \|\mathcal{A}^*\|$
Вроде ошибок нет, спасибо за подсказку :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма линейного оператора
Сообщение09.01.2011, 10:36 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
BapuK в сообщении #396651 писал(а):
оценку $\|\mathcal{A}^*\| \leq \|\mathcal{A}\|$ получил легко. Обратно не могу. Чувствуется, что нужно использовать одно из следствий теоремы Хана-Банаха

Какой ещё Хан-Банах в гильбертовом-то пространстве?...

Если существование, единственность и ограниченность сопряжённого оператора (в ограниченном случае) уже доказана, то автоматом получается $(A^*)^*=A$, поэтому достаточно односторонней оценки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group