2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональное уравнение
Сообщение10.11.2006, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Найти функцию f(x), определённую на (0, $+\infty$), непрерывную и ограниченную, но отличную от константы, удовлетворяющую уравнению: $f(x^2)=f^2(x)-2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение10.11.2006, 19:09 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
worm2 писал(а):
Найти функцию f(x), определённую на (0, $+\infty$), непрерывную и ограниченную, но отличную от константы, удовлетворяющую уравнению: $f(x^2)=f^2(x)-2$.

Сразу видно, что f(x)>=2, поэтому для каждого х, существует y(x), что f(x)=y(x)+1/y(x). Из исходного уравнения получаем: $y(x^2})+\frac{1}{y(x^2)}=(y(x)+\frac{1}{y(x)})^2-2=y^2(x)+\frac{1}{y^2(x)}.$
Поэтому $y(x^2)=y^2(x)$. Заметим, что при вычислении f, не важно какой из корней брать y(x) или 1/y(x).
Все непрерывные решения последнего уравнения есть $y(x)=x^a$, т.е.
$f(x)=x^a+x^{-a}$.
Отличные от костанты cоответствуют a отличныму от нуля. Только вот ограниченных нет среди не постоянных. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Руст писал(а):
Сразу видно, что f(x)>=2,

Вы не могли бы пояснить? Функция определена на положительных числах, но область ее значений не оговорена.

Руст писал(а):
Поэтому $y(x^2)=y^2(x)$.

Или $y(x^2)=y^{-2}(x)$. Не то, чтобы это принципиально, в конце концов $y(x^4)=y^4(x)$.

~~~~~

Мне вообще не вполне понятно Ваше построение. Поясню: перейдем к логарифмическим координатам по $x$ и к $\ch$ по $y$: $x \to {\rm e}^y,  2 \ch (g(\ln x)) = f(x)$. Тогда $g(2 y) = 2 g(y)$. Определим произвольным образом непрерывную $g(y)$ на отрезке $[1,2]$ так, что $g(2) = 2 g(1)$. Очевидно, что эта функция легко распространяется на полупрямую $[0,+\infty)$, и удовлетворяет всем условиям. Не менее очевидно, что $g(0) = 0$. Плюс, мы можем определить $g$ аналогично и независимо на отрицательной полуоси.

И это только описание семейства функций с $f(x) \geqslant 2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 20:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
незваный гость писал(а):
:evil:
Руст писал(а):
Сразу видно, что f(x)>=2,

Вы не могли бы пояснить? Функция определена на положительных числах, но область ее значений не оговорена.

Руст писал(а):
Поэтому $y(x^2)=y^2(x)$.

Или $y(x^2)=y^{-2}(x)$. Не то, чтобы это принципиально, в конце концов $y(x^4)=y^4(x)$.

Если найдётся y=f(x)<2, то взяв последовательность $a_0=f(x),a_n=f(x^{2^n}}=a_{n-1}^2-2$ получим отрицательный член.
Так как f(x)=y(x)+1/y(x), то взяв вместе y(x) другое значение 1/y(x) получим то же значение для f(x), о чём я упомянул.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 21:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Руст писал(а):
Если найдётся y=f(x)<2, то взяв последовательность $a_0=f(x),a_n=f(x^{2^n}})=a_{n-1}^2-2$ получим отрицательный член.

Да, я понимаю. Я не понимаю только, чему противоречат отрицательные члены. Я уже говорил, функция определена $f: (0,+\infty) \to {\mathbb R}$

Руст писал(а):
Так как f(x)=y(x)+1/y(x), то взяв вместе y(x) другое значение 1/y(x) получим то же значение для f(x), о чём я упомянул.

Да, это, конечно, верно. Есть только одно «но»: действительно ли решения у этих двух уравнений совпадают. Если не совпадают, то нам равенство после перехода к $f(x)$ может не помочь.

Есть очевидный факт $f(x) \geqslant -2$. Для $-2 \leqslant f(x) \leqslant 2$ было бы логично положить $f(x) = 2 \cos(h(x))$, да «бы» мешает: здесь могут возникнуть проблемы с непрерывностью из-за неоднозначности $\arccos$.

~~~

Похоже, я опять «дул на холодное». По моему, $2 \cos \ln x$ удовлетворяет всем условиям. И многие другие тоже удовлетворяют…

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 21:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да, я невнимательно прочёл условие и решал, считая $f: R_+\to R_+$.
Тогда получается и ограниченное решение: $y(x)=exp(aix),f(x)=2cos(ax).$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Руст писал(а):
Да, я невнимательно прочёл условие и решал, считая $f: R_+\to R_+$.
Тогда получается и ограниченное решение: $y(x)=exp(aix),f(x)=2cos(ax).$

Мне кажется, что ответ $ f(x)=2cos(ax).$ неверен. Например, если а=1, то требуемое функциональное уравнение не выполняется в точке пи/2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Руст имел в виду $2 \cos a \ln x$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 22:47 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Верно поторопился здесь $f(x)=2cos(y(x)), \ y(x^2)=2y(x) \Longrightarrow y(x)=a\ln(x)$,
т.е. $f(x)=2cos(alnx ).$
Это аналогично раннему решению $f(x)=2ch(alnx).$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group