2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Функции двумерного распределения
Сообщение03.01.2011, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Пусть $F(x,y)$ - функция двумерного распределения.
Будет ли функцией двумерного распределения $F(x,y)^A$? То, что при натуральных $A$ будет, ясно: это распределение покомпонентного максимума $A$ независимых случайных векторов с таким распределением. А при всех $A>0$? Или только при $A\ge 1$? Пыталась делать через плотность, запуталась. Кроме того, распределение не обязательно абсолютно непрерывно.

И еще вопрос: если $F(x,y)$ и $G(x,y)$ - две функции двумерного распределения, будут ли таковыми $\max\{F(x,y),G(x,y)\}$ и $\min\{F(x,y),G(x,y)\}$? Для одномерных такие операции снова дают функцию распределения, а для многомерных - не уверена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение03.01.2011, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Правильно я понимаю, что $F(x,y)=P\{X\le x,\,Y\le y\}$, не убывает по каждому из аргументов и $ F(x,y)\to 1$ при $x,y\to+\infty$?

Ведь это -- все формальные свойства (еще какая-то непрерывность нужна)... не вижу препятствий

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение03.01.2011, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Цитата:
Правильно я понимаю, что $F(x,y)=P\{X\le x,\,Y\le y\}$

Да.
Цитата:
Ведь это -- все формальные свойства

К сожалению, не все. Там еще есть свойство, чтобы вероятность любого прямоугольника (считаемая через функцию распределения) получалась неотрицательной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение03.01.2011, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
alisa-lebovski в сообщении #394920 писал(а):
Там еще есть свойство, чтобы вероятность любого прямоугольника (считаемая через функцию распределения) получалась неотрицательной.

а это не следует из неубывания по каждой переменной?

-- Пн янв 03, 2011 18:49:05 --

а... там должно быть
$$
F(x+a,y+b)-F(x,y+b)-F(x+a,y)+F(x,y)\ge 0
$$
Такая "выпуклость"

-- Пн янв 03, 2011 19:22:18 --

Надо доказать такое утверждение: для любых четырех положительных чисел $a\ge b\ge c\ge d$, удовлетворяющих неравенству $a+d\ge b+c$ при любом $A\ge 1$ имеет место неравенство $a^A+d^A\ge b^A+c^A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение03.01.2011, 22:54 
Заслуженный участник


12/08/10
1610
А стремление к 0 на минус бесконечности, оно там хитрое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение03.01.2011, 23:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Для min/max ответ отрицательный. Для максимума --- $\delta_{(0,1)}$ и $\delta_{(1,0)}$, для минимума --- $\frac12(\delta_{(0,0)}+\delta_{(2,2)})$ и $\frac12(\delta_{(0,1)}+\delta_{(1,0)})$. Для квадрата $(0,1]^2$ получаются отрицательные вероятности.

Для возведения в степень $A\ge1$ ответ положительный, но моё докво существенно двумерно, в $n$-мерном случае ещё надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 04:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
При $n\ge3$ может уже и не получиться ф.р. Например, если рассмотреть распределение $\frac13(\delta_{(0,0,1)}+\delta_{(0,1,0)}+\delta_{(1,0,0)})$, то приращение по кубику $(0,1]^3$ получается $1-3(2/3)^A+3(1/3)^A<0$ при $1<A<2$. По-видимому, в $n$-мерном случае нужно требовать $(A>n-1)\vee(A\in\mathbb N)$. Кажется, док-во тривиально, но надо проверить.

Вроде бы, всё очевидно. Короче, если $f\colon[0,1]\to[0,1]$, то для того, чтобы для любой двумерной функции распределения $F$ функция $f\circ F$ также была функцией распределения, необходимо и достаточно, чтобы $f$ была выпуклой неубывающей функцией с $f(0)=0$, $f(1-0)=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 12:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Цитата:
Надо доказать такое утверждение: для любых четырех положительных чисел $a\ge b\ge c\ge d$, удовлетворяющих неравенству $a+d\ge b+c$ при любом $A\ge 1$ имеет место неравенство $a^A+d^A\ge b^A+c^A$.

Доказала. Поскольку $c\le a+d-b$, то $b^A+c^A\le b^A+(a+d-b)^A$. В правой части выпуклая функция по $b\in [a,d]$, ее значение не больше, чем взвешенная сумма значений в точках $a$ и $d$, которые оба равны $a^A+d^A$. Так что $a^A+d^A\ge b^A+c^A$. Аналогично делается для выпуклой неубывающей функции вместо степени (хотя мне это и не надо).

А во многомерном случае как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
alisa-lebovski в сообщении #395109 писал(а):
А во многомерном случае как?

Ну ясно же как...$\forall a\in\mathbb{R}^n$, $\forall x\in \mathbb{R}^n$
$$
\sum_{\sigma\in \{0,1\}^n}(-1)^{n-|\sigma|}F\Bigl(x+\langle\sigma,a\rangle\Bigr)\ge 0
$$
Где $\{0,1\}^n\subset\mathbb{R}^n$ -- множество вершин единичного куба (точки с координатами 0 и 1), $|\sigma|=\sum\sigma_i$, треугольные скобки -- обычное скалярное произведение

-- Вт янв 04, 2011 12:46:00 --

В смысле, если $2^n$ неотрицательных чисел $\{a_\sigma,\,\sigma\in\{0,1\}^n\}$ таковы, что

$$ \sum_{\sigma\in \{0,1\}^n}(-1)^{n-|\sigma|}a_\sigma\ge 0, $$
и $\sigma>\tau$ (лексикографический порядок на вершинах куба) влечет $a_\sigma\ge a_\tau$

то и
$$
\sum_{\sigma\in \{0,1\}^n}(-1)^{n-|\sigma|}f(a_\sigma)\ge 0
$$
для $f(x)=x^A$, $A\ge 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
В $n$-мерном случае необходимое и достаточное условие на $A$ --- это $(A>n-1)\vee(A\in\mathbb N)$. Более общо, если $f\in C^n([0,1],[0,1])$, $f(0)=0$, $f(1)=1$, то для того, чтобы для любой $n$-мерной функции распределения $F$ функция $f\circ F$ была функцией распределения ($n$ фиксировано), необходимо и достаточно, чтобы при всех $k\in\{0,1,\ldots,n\}$ и $x\in[0,1]$ выполнялось $f^{(k)}(x)\ge0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 13:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
RIP в сообщении #395141 писал(а):
$f^{(k)}(x)\ge0$.

собственно, это и зашифровано в
paha в сообщении #395120 писал(а):
В смысле, если $2^n$ неотрицательных чисел $\{a_\sigma,\,\sigma\in\{0,1\}^n\}$ таковы, что

$$ \sum_{\sigma\in \{0,1\}^n}(-1)^{n-|\sigma|}a_\sigma\ge 0, $$
и $\sigma>\tau$ (лексикографический порядок на вершинах куба) влечет $a_\sigma\ge a_\tau$

то и
$$ \sum_{\sigma\in \{0,1\}^n}(-1)^{n-|\sigma|}f(a_\sigma)\ge 0 $$
для $f(x)=x^A$, $A\ge 1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Ваше условие более сильное, чем неотрицательность производных. Оно не выполнено ни при каких $A>1$ (при $n\ge3$). От чисел $a_\sigma$ надо требовать не просто монотонность, а неотрицательность приращений по всем граням.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
RIP в сообщении #395163 писал(а):
Ваше условие более сильное, чем неотрицательность производных. Оно не выполнено ни при каких $A$. От чисел $a_\sigma$ надо требовать не просто монотонность, а неотрицательность приращений по всем граням.


Вы правы.

Назовем набор $2^n$ чисел $\{a_\sigma,\,\sigma\in\{0,1\}^n\}$ вероятностным, если

$$ \sum_{\sigma\in \Gamma}\varepsilon(\sigma,\Gamma)a_\sigma\ge 0, $$
для любой (не обязательно максимальной) грани $\Gamma\subset\{0,1\}^n$ единичного куба

Знак $\varepsilon(\sigma,\Gamma)$ таков, что на старшей (лексикографически) вершине из $\Gamma$ он равен $1$, на соседних $-1$ и т.д.

Вообщем наша функция должна переводить вероятностные наборы в вероятностные.

Такая характеризация хороша тем, что не требует от функции дифференцируемости

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Цитата:
Вообщем наша функция должна переводить вероятностные наборы в вероятностные.

Такая характеризация хороша тем, что не требует от функции дифференцируемости.

По-моему, это не критерий, а просто переформулировка того, что функция должна переводить функцию распределения в функцию распределения. Вопрос в том, как это можно достаточно просто проверить для конкретной функции. Вот условие с производными - это критерий. Но я пока не понимаю, как его доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции двумерного распределения
Сообщение04.01.2011, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
alisa-lebovski в сообщении #395323 писал(а):
Но я пока не понимаю, как его доказать.

как раз из "переформулировки" легко вывести условие для дифференцируемых функций... просто многократным применением теоремы (Лагранжа? о среднем?) $f(x+\xi)-f(x)=f'(\theta)\xi$, $\theta\in[0;\xi]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group