Диссипативные системы

[Xoma]

Объясните пожалуйста простым и доступным языком :
что такое диссипативные системы ?Это диффуры
Желательно в математических формулах.Просто из того что у меня написано я ничего не понял
Только пожалуйста не отправляете на вики или гугл
Заранее благодарен

[Gortaur]

С удовольствием послушаю тоже - вики что на русском, что на английском не внушает уважения по этому вопросу (или там этого вообще нет - не помню).

[Circiter]

Грубо говоря, диссипативные (т.е. открытые, подверженные постоянному притоку и отводу "энергии") системы содержат нелинейности, которые не дают фазовым траекториям системы уходить на бесконечность. То есть, в диссипативных системах, траекториям не хватает энергии чтобы неограниченно отдаляться от начальной точки и они вынуждены все время путешествовать в некотором ограниченном объеме, в котором они могут в конце концов притянуться каким-нибудь "классическим" аттрактором (например неподвижной или периодической точкой) или продолжать двигаться хаотично, никогда не бывая в одной и той же точке дважды, формируя таким образом странный аттрактор. Ну как-то так...

[Xoma]

А как они относятся к дифференциальным уравнениям??? там где интегралы считают и все такое
А в формулах сможете объяснить у меня тут что-то про верхний предел,что оно должен быть ограничен
а что значит аттрактор и нелинейности простым и доступным языком??

-- Вт дек 28, 2010 21:34:08 --

И как вообще траектории и энергия относятся к решениям диффур??

[Ales]

Динамическая система $\dot x=v(x), x \in \mathbb R ^n$ называется консервативной, если сохраняется фазовый объем.
Например, механическая система без трения, в которой сохраняется энергия.
Дивергенция векторного поля скоростей равна нулю: $\sum \limits_{i=1}^n \frac {\partial v_i}{\partial x_i}=0$.


Динамическая система называется диссипативной, если фазовый объем постоянно уменьшается и еще есть поглощающая область, в которую попадают траектории фазового потока из ее окрестности.
Дивергенция векторного поля скоростей такой системы отрицательна в поглощающей области.
Поправился: всюду может быть не отрицательна.

Механические системы с трением - диссипативные системы.

[Circiter]

2Xoma

Ну про нелинейности это я наверное зря сказал. Диссипативные системы могут быть вполне себе даже линейными. Самое интересное, что если нарисовать какую-нибудь фигурку в фазовом пространстве, то при диссипации объем этой фигурки не будет сохраняться. Это главный признак диссипативной системы. О нем и говорил Ales.

К дифурам динамические системы относятся напрямую, потому что, скажем так, могут моделироваться ими (ну, по крайней мере, динамические системы с непрерывным временем). Например, представьте себе какой-нибудь затухающий осциллятор. Это - диссипативная система, и она может быть описана дифференциальным уравнением.

Попробуйте разобраться с понятием "фазовое пространство" и все станет понятнее.

Цитата:

а что значит аттрактор

Так называют область в фазовом пространстве, на которую стремятся упасть все близкие к ней траектории. Аттрактором, как я уже говорил, может быть неподвижная точка (самый простой случай).

[Xoma]

Я что-то не совсем понял
У меня в пособии написано что это системы в которых все решения ограничены.Это вообще правильно??
И где связь этого того что вы написали??

-- Вт дек 28, 2010 21:55:09 --

Там ничего про аттрактор и фазовые пространства не написано

[moscwicz]

Стандартное определение диссипативности следующее. Система называется диссипативной если все ее решения продолжаемы вправо и существует $R<\infty$ такое, что для любого решения $x(t)$ верно следующее $\lim sup_{t\to+\infty}\|x(t)\|\le R$. Никаких утверждений относительно поведения фазового объема отсюда вывести нельзя. Говорить об энергии в случае произвольной системы вообще бессмысленно. Это все фмзмческое ля-ля.

[Ales]

Фазовое пространство - пространство возможных состояний системы.
Например, для дифференциального уравнения: $\ddot x=-x$ фазовое пространство - это плоскость $\mathbb R^2 $, в которой могут меняться $(x, \dot x)$.

[Circiter]

2Xoma

Цитата:

У меня в пособии написано что это системы в которых все решения ограничены

Это ровно и означает, что траектории не уходят на бесконечность. Формализация ограниченности есть в сообщении moscwicz.

[moscwicz]

Xoma
а Вам товарисч надо сперва классические учебники читать Демидович ,например, Лекции по мат. теории устойчивости. А уж потом вопросты задавать не типа "расскажите мне определения", а " я в доказательстве не понял то-то и то-то"

[Xoma]

moscwicz,вот да у меня так же написано только там
система $\dot{x}=f(x,t)$ с продолжаемыми при t->к беск решениями назыв дисс если
тоже самое что и вы написали только под пределом $||x(t,x_0,t_0)||=R$
так где правильно у вас или у меня??
и что означает этот предел с нормой??

[moscwicz]

Ales в сообщении #392923 писал(а):

Дивергенция векторного поля скоростей равна нулю: $\sum \limits_{i=1}^n \frac {\partial v_i}{\partial x_i}=0$.

а Вы вот знаете, например, что в неголономных динамисческих системах энергия может сохраняться,а дивиргенция быть $<0$?

[Circiter]

2moscwicz

Цитата:

Никаких утверждений относительно поведения фазового объема отсюда вывести нельзя

Можно. Из ограниченности траекторий и запрета на их пересечение следует существование аттрактора (или нескольких). Он может быть либо точкой, либо предельным циклом. Любой фазовый объем из бассейна аттрактора падая на аттрактор неизбежно сплющивается, т.е. уменьшается.

Со странными аттракторами сложнее, там наблюдается т.н. перемешивание, но эффект тот же.

[Ales]

moscwicz в сообщении #392935 писал(а):

Стандартное определение диссипативности следующее. Система называется диссипативной если все ее решения продолжаемы вправо и существует $R<\infty$ такое, что для любого решения $x(t)$ верно следующее $\lim sup_{t\to+\infty}\|x(t)\|\le R$. Никаких утверждений относительно поведения фазового объема отсюда вывести нельзя. Говорить об энергии в случае произвольной системы вообще бессмысленно. Это все фмзмческое ля-ля.

В реальных системах понятие энергии обычно существенно.

Если есть поглощающая область (у Вас это шар), то фазовый объем уменьшается со временем: образ поглощающей области лежит у нее внутри.

Требование на отрицательную дивергенцию более сильное и не обязательное.
Главное чтобы в среднем фазовый объем уменьшался, временами же он может и расти.
В целом принимаю Вашу поправку.