2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать неравенство
Сообщение25.12.2010, 01:05 


23/05/09
77
Докажите, что для любых положительных чисел $a$, $b$, $c$, $d$, удовлетворяющих равенству
$\frac{1}{{a^2  + 1}} + \frac{1}{{b^2  + 1}} + \frac{1}{{c^2  + 1}} + \frac{1}{{d^2  + 1}} = 1$ выполняется неравенство $\frac{{a + b + c + d}}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}} \geqslant 3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение25.12.2010, 09:00 


21/06/06
1721
Итак, нужно доказать, что:
$\[a + b + c + d \ge 3(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d})\]$
Из условия нетрудно получить, что:
$\[a = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}} \]$, $\[b = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}} \]$, $\[c = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}} \]$ и $\[d = \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}} \]$.
И наше неравенство запишется так:
$\[\sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}}  \ge 3\left( {\sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}} } \right)\]$
Применяя Коши-Шварца имеем
$\[\begin{array}{l}
 \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}}  \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} \\ 
 \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}}  \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} \\ 
 \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}}  \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} \\ 
 \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}}  \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}{{\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }} \\ 
 \end{array}\]$
А теперь применив, сперва AM-GM, затем слегка попереставляем слагаемые и затем снова применив Коши-Шварца (для сворачивания), получаем окончательно:
$\[\begin{array}{l}
 LHS \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {v^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}} \right) \\ 
  \ge \frac{{3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }} + \frac{{3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }} + \frac{{3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }} + \frac{{3\sqrt 3 \sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}}  + \sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} \\ 
  \ge \left( {\sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {a^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {b^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {c^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {d^2}}}}}}  + \sqrt {\frac{{\frac{1}{{1 + {d^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}}}} } \right) \\ 
 \end{array}\]$
На этом и завершаем доказательство.

P.S. Решение уродливое. Красивое решение могло бы быть при использовании неравенства Чебышева, но мне не удалось обосновать его применение.
Точнее удалось, но только в том случае, если все 4 искомых числа больше 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение25.12.2010, 10:56 


23/05/09
77
Sasha2, спасибо большое! Но я у меня есть вопросы по доказательству.
1) К каким выражениям применяется неравенство между средними арифметическим и геометрическим?
2) Как получается такая оценка:
$LHS \ge \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {v^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}} \right) + \frac{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {d^2}}}} }}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {a^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {b^2}}}} }} + \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{1 + {c^2}}}} }}} \right) \\ $
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать неравенство
Сообщение25.12.2010, 16:05 


21/06/06
1721
Ну здесь под AM-GM следует понимать вот такое неравенство
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ge 9$.

А данная оценка получается после сложения и перестановки членов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group