2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квадрика, пересечение плоскости и гиперболоида (ангем)
Сообщение14.12.2010, 19:51 


14/12/10
53
Здравствуйте. Помогите пожалуйста с вопросом.

Необходимо написать такое уравнение плоскости, которое пересекая однополосный гиперболоид $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}-\frac{z^2}{5} = 1$ образует линию, центр которой находится в $(6;6;5)$.

Я пробовал задать эту плоскость в параметрическом виде: два произвольных ортонормированных и ортогональных вектора и данная точка, но получается шесть неизвестных и одно уравнение.

Если проанализировать расположение точки и поверхности, то данная точка расположена вне поверхности, поэтому кривая по которой пересекаются поверхность и плоскость может быть только гипербола.

Но как этим воспользоваться я не знаю. Подскажите, что делать хоть дальше?
Как вообще такое решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
У гиперболы бывает центр?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:04 


14/12/10
53
ИСН в сообщении #387500 писал(а):
У гиперболы бывает центр?

Одна единственная точка -- точка симметрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Цитата:
Я пробовал задать эту плоскость в параметрическом виде: два произвольных ортонормированных и ортогональных вектора

Не понял. Почему два? Ваше пространство четырехмерное?

А что если отразить относительно этой точки гиперболоид и пересечь с собой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:19 


14/12/10
53
Хорхе в сообщении #387505 писал(а):
Не понял. Почему два? Ваше пространство четырехмерное?

Почему четырёхмерное? Оно трёхмерное.
А векторов два, так как я рассматриваю проекцию сечения на данную плоскость (плоскость соответственно задаётся двумя направляющими векторами и точкой).

-- Вт дек 14, 2010 20:21:58 --

Хорхе в сообщении #387505 писал(а):
А что если отразить относительно этой точки гиперболоид и пересечь с собой?

Не совсем понял идею...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ааааа...

Я обычно плоскость одним вектором задаю -- нормалью.

Кстати, пересеките, как я сказал. Напишите уравнение гиперболоида, симметричного относительно этой точки. Скомбинируйте с данным уравнением. Получится система из двух уравнений. Хитрыми манипуляциями исключите квадраты и получится уравнение искомой (или искомое уравнение?) плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Блин, если точка находится вне гиперболоида, как она может

-- Вт, 2010-12-14, 21:23 --

а, нет, может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(спойлер)

$3x+2y-z=25$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:28 


14/12/10
53
Хорхе в сообщении #387508 писал(а):
Напишите уравнение гиперболоида, симметричного относительно этой точки.

Извиняюсь за свою неграмотность, но что подразумевается под гиперболоидом, симметричным относительно точки. Просто я такого понятия не встречал. Можно как-то поподробнее, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(Оффтоп)

Гиперболоидом, симметричным относительно точки данному, называется гиперболоид, симметричный данному относительно точки. (Спасибо, капитан!)

Давайте с другой стороны. Вот пусть есть точка с координатами $(x,y,z)$. Каковы координаты точки, симметричной ей относительно точки $(6,6,5)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:45 


14/12/10
53
Хорхе в сообщении #387514 писал(а):
Давайте с другой стороны. Вот пусть есть точка с координатами $(x,y,z)$. Каковы координаты точки, симметричной ей относительно точки $(6,6,5)$?

$(12-x;12-y;10-z)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Теперь подставьте это в исходное уравнение. Получится уравнение гиперболоида, симметричного данному относительно точки $(6,6,5)$. Что далее, я уже описал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 21:14 


14/12/10
53
Ура получилось!!!

Только вопросы:
1) Почему (на основе каких размышлений) данное решение приводит к результату?
2) Такое сечение единственно?

Знаю, что эти вопросы будут заданы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ну смотрите. Заранее прошу прощение за излишнюю многословность, преподавательская привычка. Вот есть гиперболоид $\Gamma$. И есть плоскость $\Pi$, проходящая через точку $T$. Пусть $S_T$ -- симметрия относительно $T$. Мы знаем, что пересечение симметрично: $S_T(\Gamma\cap \Pi)= \Gamma\cap\Pi$. Поэтому это пересечение лежит заодно в $S_T(\Gamma)$, и в $S_T(\Pi)$ (последнее совпадает с $\Pi$, ведь плоскость, проходящая через точку, симметрична себе относительно точки, но это сейчас не очень важно). То есть мы можем сказать, что пересечение совпадает с таким: $\Gamma\cap S_T(\Gamma)\cap \Pi$. Мы уравнение плоскости $\Pi$ пока не знаем. В лоб нам делать не хочется. Поэтому такая идея: а вдруг нам повезет и ВНЕЗАПНО пересечение $\Gamma$ с $S_T(\Gamma)$ попало в одну плоскость? Проверим удачу: составим систему из уравнений $\Gamma$ и $S_T(\Gamma)$. Нам не надо ее решать. Чтобы доказать, что ее решение лежит в плоскости, достаточно просто вывести из нее уравнение некоторой плоскости. Отняли одно уравнение от другого... Удалось!

Вот, собственно, и все.

Вообще-то по-хорошему надо еще проверить, что данное пересечение не лежит в нескольких различных плоскостях одновременно, то есть на прямой. Впрочем, это достаточно очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрика
Сообщение14.12.2010, 21:41 


14/12/10
53
По поводу размышлений всё понятно. Спасибо большое.
По поводу единственности: данная плоскость единственное решение полученной системы получается...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group