Колебания, осциллятор, колебательный контур

[J.Tee]

Осциллятор совершает затухающие колебания. Амплитуда колебаний в начальный момент времени равна $A_0 = 15 cm$, в момент времени $t_1 = 30c$ $A_1 = 5cm$, в момент $t_2=62c$ $A_2 = ?$. Найти $A_2$

С чего начать? Подскажите как решать, я не прошу решить за меня, я прошу наставлять меня на верный путь решения.

[caxap]

По-моему, данных не хватает. Ведь общий вид затухающих гармонических колебаний содержит 3 параметра (начальная амплитуда, угловая частота и показатель в экспоненте). $A_0$ мы знаем. Чтобы определить оставшиеся два, нужно два уравнения, а по условиям можно составить только одно.

[мат-ламер]

Можно считать, что амплитуда колебаний убывает по экспоненте, т.е. за равные периоды уменьшается в одинаковое число раз.

[J.Tee]

Данные все написаны, причем, я полагаю, что это не самая сложная задача, которую мне придется сегодня решить, просто проблема в том, что я совсем не знаю формул.

$A=A_0$$e^{at}$

если использовать эту формулу, то можно найти к-т затухания, тк знаем амплитуду в определенный момент времени.

-- Пт дек 10, 2010 19:26:55 --

Если решать, как написано выше, то получается слишком просто, может быть существуют еще более хитрые методы?

[Munin]

J.Tee в сообщении #385843 писал(а):

Если решать, как написано выше, то получается слишком просто, может быть существуют еще более хитрые методы?

Дык задача и есть простая. Хитрых методов не нужно. Успеете ещё напариться с более сложными.

[caxap]

J.Tee в сообщении #385843 писал(а):

$A=A_0e^{at}$

Я извиняюсь, а где колебания? Кто сказал, что $A_0$ и $A_1$ измерены в точках с одинаковой "фазой"?

whiterussian:

убрала ваше замечание из оффтопика, так как оно очень даже и по делу!

[J.Tee]

Я не очень понимаю, что вы имеете ввиду, можно поподробнее?

Тем временем, задача два, вопросы те же - наставить на верный путь решения.

Гармонический осциллятор совершает установившиеся вынужденные колебания под действием гармонической силы, меняющейся по закону косинуса с амплитудой $F=2H$. Амплитуда вынужденных колебаний $a=0,318m$, запаздывание по фазе $\varphi$ = 60 градусов. За период сила совершает работу $A$, найти $A$

[pittite]

J.Tee в сообщении #385866 писал(а):

Гармонический осциллятор совершает установившиеся вынужденные колебания под действием гармонической силы, меняющейся по закону косинуса с амплитудой $F=2H$. Амплитуда вынужденных колебаний $a=0,318m$, запаздывание по фазе $\varphi$ = 60 градусов. За период сила совершает работу $A$, найти $A$

Здесь все просто: сила "двигает" осциллятор, совершая при этом работу. На бесконечно малом перемещении силу можно считать постоянной, потому работа на бесконечно малом перемещении $dx$ равна ... (по известной формуле). Чтобы найти работу за период, нужно проинтегрировать за период работу на бесконечно малом перемещении.

Формальные хитрости здесь - надо учесть, что работа есть (какое?) произведение (чего?). И опять же, немного неполные условия: видимо, в задаче предполагается, что колебания осциллятора и сила направлены вдоль одной прямой.

Все многоточия и вопросы в скобках Вам надо заполнить самостоятельно.

-- Пт дек 10, 2010 18:26:22 --

caxap в сообщении #385855 писал(а):

Я извиняюсь, а где колебания? Кто сказал, что $A_0$ и $A_1$ измерены в точках с одинаковой "фазой"?

В условии "так" сказано. Ведь спрашивается не мгновенное значение отклонения осциллятора, а "амплитуда", которая определена, строго говоря, лишь для периодического колебания, коим затухающее колебание не является. То есть в данном случае надо формально рассматривать гармоническое колебание $a(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$, умноженное на функцию затухания (например, $e^{-kt}$). И интересует в задаче не значение $a(t_2)$, а $A_0e^{-kt_2}$. Я так понимаю...

[J.Tee]

А что значит *установившиеся колебания*?

[Munin]

В данном случае постоянной амплитуды.

[J.Tee]

так, чтобы найти работу нужно проинтегрировать мощность по периоду?

Запаздывание фазы заключается тут в том, что частота у осциллятора и вынуждающей силы одинаковая, но в фазу вынуждающей силы еще входит -$\varphi$ ?

Работа есть произведение векторное силы на перемещение , что тут берется за расстояние я не знаю, если считаем работу за период, то за период осциллятор совершает колебание от -а до +а, те, грубо говоря, перемещение есть 2а, но в тоже время сила во время полного колебания меняется.

$W=Fdx$
$x(t)=a_0sin($\omega$$t-$\varphi$)$

Я в замешательстве

[мат-ламер]

J.Tee в сообщении #385922 писал(а):

Я в замешательстве

Вы сами хотели похитрее.

[J.Tee]

похитрее в первой задачи, но увы не вышло, а вторая и так достаточно хитрая

[pittite]

J.Tee в сообщении #385912 писал(а):

А что значит *установившиеся колебания*?

В данном случае - корректное формальное уточнение, подразумевающее, что: а) колебания периодические (имеют указанный Вами вид, где $a_0=const$, что написал и Munin) и б) намекают на предысторию системы: под действием силы поведение осциллятора изменялось (например, он был ранее в покое, а потом начал совершать колебания), причем на этапе этих изменений его поведение могло и не описываться формулой $x(t)=a_0\sin(\omega t-\varphi_0)$; но второй ньюанс несущественен для данной задачи. Есть и третий, важный для задачи ньюанс - о нем ниже.

J.Tee в сообщении #385922 писал(а):

Работа есть произведение векторное силы на перемещение...

Нет, не векторное.

J.Tee в сообщении #385922 писал(а):

что тут берется за расстояние я не знаю

Вы же написали формулу, только ее надо подправить: $dA=Fdx$; в ней есть то самое расстояние, точнее - перемещение. А дифференциал перемещения можно записать по формуле, справедливой для дифференциала любой функции одной переменной: $dx=\frac{dx}{dt}dt$ или $dx=x'(t)dt$.

J.Tee в сообщении #385922 писал(а):

$dA=Fdx$
$x(t)=a_0\sin(\omega t-\varphi_0)$

Ну вот, а теперь надо записать силу как функцию от времени, учитывая физику (особенность вынужденных установившихся колебаний, а именно: взаимосвязь силы как функции от времени и колебаний как функции от времени), и условие задачи. И интегрировать $dA$ - например, от $0$ до $T$ (период колебаний).

[J.Tee]

$F=F_0sin$\omega$t$

Дифференциал перемещения по чему? По времени - тогда это скорость или считается, что все аргументом является только время, а остальное константы.
в этом случает, по моему будет что-то вроде этого -

$dx=a_0$cos$($\omega$t-$\varphi$)$\omega$$

Но все равно, тк еще предстоит найти период, а частота неизвестна.