2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система аксиом фон Нёймана
Сообщение05.12.2010, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
"$(Aa)[(f, a)] = [g, a] \supset f = g]$" Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 129. Это примечание редактора перевода А. С. Есенина-Вольпина. Под $A$ здесь понимается $\forall$. В этой формуле нечётное количество скобок. Я думаю, что это опечатка и должно быть $(Aa)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$. Проверьте, пожалуйста. А вот и весь кусок с заменой $A$ на $\forall$ и изъятием "подозрительной" скобки.

"Формулировка системы аксиом фон Нёймана такова:
Имеется два рода вещей: I-вещи и II-вещи, которые обозначаются ниже буквами $a, b, c,...$ и $f, g, h,...$ соответственно; кроме того, имеются две различные вещи $A$ и $B$ и две операции $[x, y]$ и $(x, y)$, где $x, y,...$ могут обозначать вещи любого рода. Посредством $x, y,...$ обозначаются ниже I-II-вещи. В группе I — 4 аксиомы: 1. $A$ и $B$ суть I-вещи; 2. $[x, y]$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $x$ есть II-вещь, а $y$ — I-вещь, и притом $[x, y]$ является всегда I-вещью; 3. $(x, y)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ суть I-вещи и притом $(x, y)$ является всегда I-вещью; 4. $(\forall a)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$." Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 129. Примечание редактора перевода А. С. Есенина-Вольпина.

Теперь вопросы по существу:
1. "$(x, y)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ суть I-вещи" I-вещи обозначаются буквами $a, b, c,...$, но "$(\forall a)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$" где $f$ I-вещь, а $f, g, h,...$ обозначения для II-вещи. Как вылезать из этого противоречия?
2. $(\forall a)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$ — это аксиома объёмности в исполнении фон Нёймана, но равенство $f = g$ есть равенство I-вещи и II-вещи. Можно ли рассматривать эту аксиому также как введение I-II-вещи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом фон Нёймана
Сообщение05.12.2010, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Я подозреваю, что формула должна быть такой: $\forall a ([f, a] = [g, a]) \to f = g$. Здесь $f$ и $g$ - это II-вещи, а $a$ и $b$ - I-вещь.

I-II-вещи - это те вещи, которые являются одновременно I- и II-вещами, см. напр. аксиому II.5

Насколько я понял после беглого взгляда, содержательно I-вещи - это объекты, из которых могут состоять множества, II-вещи - соответствия ("функции") I-вещей, $[f, a]$ - это объект, который сопоставляется объекту $a$ соответствием $f$, $(a,b)$ нужны для составления кортежей, области - это собственные классы (или, что то же самое, предикаты - каждая I-вещь либо принадлежит, либо не принадлежит ему, $A$ и $B$ - булевские значения), а I-II-вещи - это, получается, множества, как там и написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом фон Нёймана
Сообщение05.12.2010, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Виктор Викторов в сообщении #383999 писал(а):
"$(x, y)$ имеет смысл тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ суть I-вещи" I-вещи обозначаются буквами $a, b, c,...$, но "$(\forall a)[(f, a) = [g, a] \supset f = g]$" где $f$ I-вещь, а $f, g, h,...$ обозначения для II-вещи. Как вылезать из этого противоречия?

Xaositect в сообщении #384025 писал(а):
Я подозреваю, что формула должна быть такой: $\forall a ([f, a] = [g, a]) \to f = g$. Здесь $f$ и $g$ - это II-вещи, а $a$ и $b$ - I-вещь.

Думаю, что Вы правы. Так формула имеет смысл. Традиционное спасибо. А где можно почитать про аксиомы фон Нёймана подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом фон Нёймана
Сообщение05.12.2010, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Виктор Викторов в сообщении #384039 писал(а):
Думаю, что Вы правы. Так формула имеет смысл. Традиционное спасибо. А где можно почитать про аксиомы фон Нёймана подробнее?
Не знаю, в таком виде, в котором они приведены в указанном Вами примечании, я их раньше не видел. Мб стоит поискать оригинальные работы фон Неймана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом фон Нёймана
Сообщение05.12.2010, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Интересно, а в каком виде Вы видели аксиомы фон Нёймана (и, конечно, вопрос где)? Попробую и поискать оригинальные работы фон Неймана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом фон Нёймана
Сообщение05.12.2010, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Виктор Викторов в сообщении #384048 писал(а):
Интересно, а в каком виде Вы видели аксиомы фон Нёймана (и, конечно, вопрос где)? Попробую и поискать оригинальные работы фон Неймана.
Где-то мимоходом попадались, я в свое время просмотрел много книг по мат.логике. Но там явно было сказано, что это функции, и вообще выглядело более понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система аксиом фон Нёймана
Сообщение05.12.2010, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Xaositect в сообщении #384054 писал(а):
Но там явно было сказано, что это функции, и вообще выглядело более понятно.

Здесь тоже понятно, но рой опечаток. Я позже ещё добавлю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group