2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оптимальная остановка
Сообщение02.12.2010, 14:01 


26/12/08
1813
Лейден
Добрый день, помогите пожалуйста придумать пример. Есть процесс Ито (диффузия) вида
$$
dX_t = \mu(X_t)dt+\sigma(X_t)dw_t, \quad X_0 = x.
$$
И функция $h(x) = x^2$. Нужно придумать пример, чтобы задача оптимальной остановки
$$
V(x) = \sup\limits_\tau \mathbb{E}_x[h(X_\tau)]
$$
решалась аналитически. Т.к. процесс однородный марковский, то можно это переформулировать в задачу с подвижной границей в $\mathbb{R}$. Считаем генератор процесса $X$, полчаем
$$
Lf(x) = \mu(x)f'(x)+\frac{1}{2}\sigma^2(x)f''(x).
$$
То есть нужно решить следующую задачу:
$LV(x) = 0$ на $C\in\mathbb{R}$, $V(x) = h(x)$ на $D = \mathbb{R}\setminus C$.

Я беру устойчивый процесс $dX_t  = -\alpha X_t dt +\sigma X_t dw_t$, где $\alpha >0$. По симуляциям очень хорошо видно, что процесс сходится к нулю довольно быстро (при $t=X_0$ обычно очень близко к нулю при $\alpha = 1$).

Так как мы хотим получить значение $h(X_\tau)$ чем больше, тем лучше - значит пока значение квадрата большое, надо остановится, так что я ищу множество $D$ в виде $x\in(-\infty,a]\cup[b,+\infty)$. В итоге у меня получается, что я сначала решаю
$LV(x) = 0$ на неизвестном промежутке $[a,b]$, получаю общее решение с двумя неизвестными $c_1,c_2$ (решение этой задачи легко получить аналитически, хоть там и противные функции).

Потом я накладываю условия гладкости и непрерывности в точках $a$ и $b$ - итого 4 условия на 4 неизвестных, и должно получиться нормальное решение. Здесь я уже могу решать только численно - и в ответ всегда получаю, что $a=b=0$. И это для очень многих типов процессов, которые я рассматривал, не только $dX_t  = -\alpha X_t dt +\sigma X_t dw_t$.

Вопрос собственно такой:
1. у меня получается, что квадрат любого процесса Ито нужно сразу останавливать (что скорее всего ошибка)
2. в чем тогда заключается ошибка
3. какой пример придумать, чтобы задача хорошо решалась (единственное условие - $h(x) = x^2$ и что процесс $X$ -диффузия = процесс Ито).

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная остановка
Сообщение02.12.2010, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
3. Это запросто. Если $2x\mu(x)+\sigma^2(x)>0$ для всех $x$, то останавливаться вообще не надо.

Тут, кстати, и ответ на 1. На 2 ответить, к сожалению, не могу, так как не вижу рассуждений, где надо искать ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная остановка
Сообщение02.12.2010, 14:41 


26/12/08
1813
Лейден
Спасибо за совет, но вопрос был как раз в том, чтобы пример был нетривиальный - не супер и не суб мартингал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная остановка
Сообщение02.12.2010, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ну, про суб- и про супермартингал это Вы только что написали, до этого не было. Будет время -- подумаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: zhoraster, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group