2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 01:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
"In symbols, $$ \forall z_1 \dots \forall z_n  [\exists x \varphi(x)  \to \exists x(\varphi(x) \wedge \forall y(y \in x  \to \neg \varphi (y)))]$$
where $y$ is not free in the formula $\varphi(x)$ and $z_1, \dots, z_n$ are the free variables of $\varphi(x)$ other than $x$." Fraenkel A.A., Bar-Hillel Y., Levy A. Foundations of set theory (2ed., Elsevier, 1973) Страница 88.

Почему $\forall z_1 \dots \forall z_n$, а не $\forall z$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 01:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Потому что там может быть много свободных переменных?
На самом деле если ограничить допустимые $\varphi$ формулами с двумя свободными переменными и написать $\forall z$, то это будет эквивалентно - мы всегда можем собрать кучку переменных в один кортеж.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Есть предикат $\varphi(x)$. $\varphi(x)$ истинно или ложно. Решается вопрос брать ли некоторое множество или индивид в образуемое множество $L$. Если для данного $x$ $\varphi(x)$ истинно, то берём в $L$, а если ложно, то не берем в $L$. Утверждается, что если существует такое $x$, что $\varphi(x)$ истинно, то существует (хотя бы одно!) такое множество все элементы, которого не принадлежат $L$ ($\varphi(x)$ для них ложно), а само множество принадлежит $L$. Для индивидов это очевидно. А для множеств все подозреваемые $z$ мы прогоняем через $\varphi(x)$. Причём здесь "мы всегда можем собрать кучку переменных в один кортеж"? Зачем мне вообще здесь кортеж? У меня ведь однотипные $z$. Только подставляй их в $\varphi(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 02:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Я не понял этой фразы:
Цитата:
Для индивидов это очевидно. А для множеств все подозреваемые $z$ мы прогоняем через $\varphi(x)$.
в этом контексте:
Виктор Викторов в сообщении #380977 писал(а):
$z_1, \dots, z_n$ are the free variables of $\varphi(x)$ other than $x$."

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 02:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Xaositect в сообщении #381000 писал(а):
в этом контексте:
Виктор Викторов в сообщении #380977 писал(а):
$z_1, \dots, z_n$ are the free variables of $\varphi(x)$ other than $x$."

Так вот эту фразу я и не понимаю! Почему вообще "other than $x$."? Чем эти $z_1, \dots, z_n$ отличаются от $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 02:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Это параметры.
То есть: если формула не содержит свободных переменных, то существует минимальное по принадлежности множество, ей удовлетворяющее.
А если содержит, то мы рассматриваем их как параметры, и тогда минимальное по принадлежности множество должно существовать для любых значений этих параметров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 02:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Мне явно не хватает знаний по сему поводу. Где можно прочитать про "минимальное по принадлежности множество"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 02:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Минимальное по принадлежности - это значит, что оно удовлетворяет $\phi$, а все ему принадлежащие - не удовлетворяют.

-- Сб ноя 27, 2010 03:01:06 --

Вообще, аксиому фундирования в терминах собственных классов можно сформулировать так: отношение $\in$ (которое на самом деле собственное отношение, а не множество-отношение) фундировано, т.е. в любом классе содержится минимальный по этому отношению элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиома фундирования
Сообщение27.11.2010, 03:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Xaositect в сообщении #381005 писал(а):
Это параметры.
То есть: если формула не содержит свободных переменных, то существует минимальное по принадлежности множество, ей удовлетворяющее.
А если содержит, то мы рассматриваем их как параметры, и тогда минимальное по принадлежности множество должно существовать для любых значений этих параметров.

Смысл этой фразы полностью до меня дошёл. Я просто перегрелся. Что-то не ладится с обозначениями, но это не столь важно. Огромное спасибо.

-- Пт ноя 26, 2010 20:06:43 --

Xaositect в сообщении #381009 писал(а):
Вообще, аксиому фундирования в терминах собственных классов можно сформулировать так: отношение $\in$ (которое на самом деле собственное отношение, а не множество-отношение) фундировано, т.е. в любом классе содержится минимальный по этому отношению элемент.

Так словами Френкель почти так перед этой формулой и говорит. Это понятно. Я запутался в обозначениях.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group