Ряды, доказать равенство коэффициентов

[alex2010]

Привет.

Решая задачу, столкнулся с технической сложностью:

как показать, что коэффициенты при $x^q$ у двух рядов одинаковы:
$\frac{(1+\sqrt{x})^{2q+p-1}}{(1-\sqrt{x})^{p+1}}$

и

$\frac{1-\sqrt{x}}{(1-2\sqrt{x})^{p+1}}$?

Буду благодарен за идеи.

[ИСН]

А это правда?
Уберите корни, они только мешают. Вынесите всё, не связанное с q, в одну сторону.

[alex2010]

Утверждение верное почти наверное:)

Корни убрал. Теперь нас интересуют коэффициенты при $x^{2q}$ у рядов:
$\frac{(1+x)^{2q+p-1}}{(1-x)^{p+1}}$

и

$\frac{1-x}{(1-2x)^{p+1}}$.

Честно говоря, не понимаю что можно вынести.

[ИСН]

Ага, спасибо. Теперь умножьте обе части на знаменатель первой из них.

[alex2010]

Но ведь равенство коэффициентов при степени $2q$ у указанных рядов не равносильно такому же условию для рядов после умножения их на что-то еще...

[ИСН]

Фак. Ведь правда.

-- Пт, 2010-11-05, 17:36 --

Значит, давайте сводить к суммам уродливых биномиальных коэффициентов.

[MetaMorphy]

Равенство легко следует из формул Коши для коэффициентов ряда. А именно, если $C$ суть окружность $|z|=r<1/2$ (допустим), обходимая против часовой стрелки, то требуемые коэффициенты равны соответственно

$$ \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{(1+z)^{2q+p-1}dz}{z^{2q+1}(1-z)^{p+1}} \quad\textrm{и}\quad \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{(1-z)dz}{z^{2q+1}(1-2z)^{p+1}}, $$

и после подстановки $z=1/w$ равенство этих интегралов становится очевидным - их даже легко вычислить. Например, при целом $p>0$ оба интеграла равны коэффициенту в разложении $(1+x)(2+x)^{2q+p-1}$ при $x^p$, то есть

$$2^{2q-1}C_{2q+p-1}^{p}+2^{2q}C_{2q+p-1}^{p-1}.$$

[alex2010]

Идея отличная! Только я вот не понимаю почему интегралы равны...

[MetaMorphy]

Ну как. После подстановки $z=1/w$ интегралы станут равными

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{C'}\frac{w(w+1)^{2q+p-1}}{(w-1)^{p+1}}dw \quad\textrm{и}\quad \frac{1}{2\pi i}\int_{C'}\frac{w^{2q+p-1}(w-1)}{(w-2)^{p+1}}dw,$$

где $C'$ - грубо говоря, большущая окружность с центром в нуле (обход против часовой).

Давайте ещё подстановки $w=1+u$ и $w=2+u$ сделаем, чтобы совсем понятно стало

[alex2010]

Точно. Я просто арифметически ошибся, когда в первый подставлял. Стыдно.

А изначально в задаче требовалось доказать нетривиальное биномиальное тождество. Решал с помощью производящих функций. Вот и надо было приравнять коэффициенты при одной степени.

Спасибо огромное.

[MetaMorphy]

Раз уж такова задача, возможно, вам будет полезно прочитать вот эту книгу. Такое чувство всесилия "робототехники" навевает