2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Касательное пространство к SL(n). Дифференциал детерминанта.
Сообщение31.10.2010, 01:01 


07/05/08
247
Доброго времени суток!
Помогите решить 2 вопроса:
1) Как выглядит $T_ESL(n)$ - касательное пространство к $SL(n)$ в единичной матрице? Как его описать?
2) Чему равен $d_E(det)$ - дифференциал определителя в единичной матрице?
Тут я посчитал якобиеву матрицу и получил, что $d_E(det)(B)=Sp B$. Это верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательное пространство к SL(n). Дифференциал детерминанта.
Сообщение31.10.2010, 07:38 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Верно. Отсюда сразу ответ на первый вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательное пространство к SL(n). Дифференциал детерминанта.
Сообщение31.10.2010, 08:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Просто вспомните о том, что $SL_n=\{A\in\mathbb{R}^{n^2}:{\rm det} A=1\}={\rm det}^{-1}(1)$.

В силу того, что $SL_n$ лежит в $\mathbb{R}^{n^2}$, касательное пространство будет некоторым линейным подпространством в $\mathbb{R}^{n^2}$.

Ситуация полностью аналогична тому, что касательная плоскость в точке $(x_0,y_0,z_0)$ к поверхности $F(x,y,z)=0$ определяется нормалью $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательное пространство к SL(n). Дифференциал детерминанта.
Сообщение31.10.2010, 08:41 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Niclax в сообщении #368153 писал(а):
Тут я посчитал якобиеву матрицу и получил, что $d_E(det)(B)=Sp B$. Это верно?

Только непонятно, причем тут якобиева матрица?

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательное пространство к SL(n). Дифференциал детерминанта.
Сообщение31.10.2010, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Padawan в сообщении #368182 писал(а):
Только непонятно, причем тут якобиева матрица?

Дифференциал -- линейное отображение касательных пространств. Его матрица -- это матрица Якоби соответствующего отображения в координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательное пространство к SL(n). Дифференциал детерминанта.
Сообщение31.10.2010, 18:16 


07/05/08
247
Проверьте мои рассуждения:
Рассмотрим кривую на $SL(n)$, проходящую через $E$:

$B:I\to \mathbb{R}^{n^2}\cong Mat_n$, $t_0\mapsto(\delta_{ij})\mapsto E$
(За $(\delta_{ij})$ я обозначил вектор, последовательно составленный из строк единичной матрицы)

Тогда $[B]$ - класс эквивалентности кривых, имеющих производную $B'(t_0)$, - касательный вектор - элемент касательного пространства $T_ESL(n)$.
Опишем такие кривые. Имеем:

$B(t)\in SL(n)$, т.е. $det B(t)=1$

$F(B(t))=0$, где $F(X)=detX-1$

Продиффенренцируем это равенство по $t$ в $t_0$:

$\nabla F(E)\cdot B'(t_0)=0$

$(\delta_{ij})\cdot B'(t_0)=Sp B'(t_0)=0$

В итоге получим, что:

$T_ESL(n)=\{[B]|SpB'(t_0)=0\}$

т.е. касательное пространство состоит из классов эквивалентности кривых, у которых след производной в прообразе единичной матрицы равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Касательное пространство к SL(n). Дифференциал детерминанта.
Сообщение01.11.2010, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Т.е. из матриц алгебры Ли $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})$

-- Пн ноя 01, 2010 11:19:05 --

как и должно быть

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group