2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 11  След.
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 19:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Someone в сообщении #368433 писал(а):
Ну, формализация интуитивных понятий - дело вообще тёмное. Но у меня соображения такие. Пусть имеется какая-нибудь теория с каким угодно набором аксиом, только непротиворечивая и потому имеющая модель. "Раздвоим" все объекты модели, считая, например, объектами теории не элементы модели, а упорядоченные пары $(x,\alpha)$ и $(x,\beta)$, причём, $(((x,\alpha)=(y,\beta))\Leftrightarrow(x=y))$, где $x,y$ - элементы теории, а $\alpha$ и $\beta$ - некие метки, доступные нам (в метатеории), но недоступные в (предметной) теории просто в силу определения равенства.
Вот я почти то же сказал, а Виктору Викторову не понравилось. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение31.10.2010, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Someone в сообщении #368150 писал(а):
$D$ и $F$, конечно, разные имена, но они имеют разные определения: $D=\{x:\Phi(x)\}$ и $F=\{x:\Psi(x)\}$. Вопрос об эквивалентности различных определений может быть весьма сложным. Фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$", кстати, не является высказыванием в языке теории множеств, поэтому ни откуда не следует, что, заменяя в ней одно имя на другое, мы должны получить что-то осмысленное. Аксиомы равенства работают внутри теории, но не обязаны работать вне её.

Someone в сообщении #368433 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):
С интересом жду Вашей реакции на пятую страницу книги Френкеля.

Мне кажется, что я на неё уже отреагировал. Давая определения множествам $D$ и $F$, мы, вообще говоря, можем не знать, что эти определения эквивалентны, и что на самом деле $D=F$. Пока эквивалентность определений не доказана, мы не можем делать каких-либо обоснованных выводов из этого равенства, и если это равенство нам для чего-то понадобилось, то должны явно указывать это предположение (например:
Теорема ($[V=L]$). Для каждого бесконечного кардинала $\tau$ выполняется $2^{\tau}=\tau^+$).
А когда равенство $D=F$ будет доказано, мы будем знать, что определения эквивалентны, а $D$ и $F$ - два имени одного и того же множества.

Я хотел быть уверенным, что после прочтения всей страницы Ваша точка зрения не изменилась.

Someone в сообщении #368433 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #368351 писал(а):
Someone в сообщении #368280 писал(а):
... нельзя полностью формализовать интуитивное понятие "конечное множество".

В той же книге Френкеля на странице 29: "a set $F$ finite if the existence of mapping of $F$ onto a subset $F'$ of $F$ implies $F'=F$."

Это просто определение конечного множества (если не ошибаюсь, принадлежащее Дедекинду; кроме того, здесь, вероятно, имелось в виду взаимно однозначное отображение или ещё какое-то условие, иначе непонятно, что делать с постоянным отображением $F\to F'=\{x_0\}$, $x_0\in F$).
Существует другое определение, которому в настоящее время отдают предпочтение: множество конечно, если оно равномощно отрезку натурального ряда (пустой отрезок тоже допустим; имеется в виду стандартная модель натурального ряда, определяемая в теории множеств).
Оба определения равносильны, если справедлива аксиома выбора (хотя бы счётная), но без аксиомы выбора возможны конечные в смысле Дедекинда множества, которые не равномощны никакому отрезку натурального ряда. Это выглядит очень занятно: в множестве можно найти сколько угодно попарно различных элементов, но составить из них бесконечную последовательность нельзя.

Вот об этом в "Set Theory and Logic" подробно.

(Оффтоп)

Книга будет через несколько недель.

Огромное Вам спасибо, Someone! Меня сдвинула с мертвой точки Ваша фраза "Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные"."

(Оффтоп)

arseniiv! До фразы ""Имея в виду утверждение 2) и эту аксиому, и говорят "множества равны тогда и только тогда, когда у них одни и те же элементы", причём, "одни и те же" означает всего лишь "соответственно равные"." разговаривать в таком духе со мной было бессмысленно. Правда, от Вашей фразы: "Равенство — это такая эквивалентность, точнее которой нам сейчас ничего не нужно" меня ещё долго будет дергать током.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 07:48 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Someone в сообщении #368433 писал(а):
кроме того, здесь, вероятно, имелось в виду взаимно однозначное отображение или ещё какое-то условие

"mapping onto" переводится как "сюръекция".

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Alexey Romanov в сообщении #369147 писал(а):
"mapping onto" переводится как "сюръекция".

Да, конечно. Только по смыслу определения требуется инъекция. А "mapping onto a subset" - это вообще никакое не условие, поскольку любое отображение есть сюръекция на (некоторое) подмножество. Если, конечно, термин "mapping" у Френкеля означает именно (произвольное) отображение, а не что-нибудь другое (например, в работах по топологии часто термин "mapping" означает "continuous map").

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 12:25 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Да, действительно :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Someone в сообщении #369189 писал(а):
Alexey Romanov в сообщении #369147 писал(а):
"mapping onto" переводится как "сюръекция".

Да, конечно. Только по смыслу определения требуется инъекция. А "mapping onto a subset" - это вообще никакое не условие, поскольку любое отображение есть сюръекция на (некоторое) подмножество. Если, конечно, термин "mapping" у Френкеля означает именно (произвольное) отображение, а не что-нибудь другое (например, в работах по топологии часто термин "mapping" означает "continuous map").

"A one-to-one correspondence of the members of $T$ to those of $S$ is also called a mapping of $T$ onto $S$, or beetwen $S$ and $T$." Стр. 8

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 14:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Тогда понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
"Определение IIа. $x$ называется равным $y$ ($x = y$) тогда и только тогда, когда для всех $z$ $x\in z$ влечет $y\in z$, и обратно, $y\in z$ влечет $x\in z$, т. е. если каждое множество, содержащее одно из множеств $x$ и $y$, содержит также и другое. Если $x$ не равно $y$, оно называется отличным от $y$ ($x\neq y$) (или множества $x$ и $y$ называются различными)."
Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 47.

А если заменить это определение на такое:

Определение IIа'. $x$ называется отличным от $y$ ($x\neq y$) тогда и только тогда, когда существует $z$ для которого $x\in z$ влечет $y\notin z$, или $y\in z$ влечет $x\notin z$, то есть существует множество, которое содержит одно из множеств $x$ или $y$, но не содержит другое. И если $x$ не отличен от $y$, то $x$ называется равным $y$ ($x = y$) (или множества $x$ и $y$ называются равными).

Выводимо ли первое из второго и обратно? Мне кажется, что выводимо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 17:00 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Рассмотрим в IIa' $x = y = z = \varnothing$. Тогда имеем $x \notin z$, так что $x \in z$ влечёт $y \notin z$. Если в IIa' "$z$ для которого $x \in z$ и $y \notin z$, или $x \notin z$ и $y \in z$", тогда равносильно исходному.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Alexey Romanov в сообщении #369274 писал(а):
Рассмотрим в IIa' $x = y = z = \varnothing$. Тогда имеем $x \notin z$, так что $x \in z$ влечёт $y \notin z$. Если в IIa' "$z$ для которого $x \in z$ и $y \notin z$, или $x \notin z$ и $y \in z$", тогда равносильно исходному.

Вы правы, но не кажется ли Вам, что это опасно и для IIa. Рассмотрим в IIa $x = y = z = \varnothing$. Тогда имеем $x \notin z$, но $x \in z$ влечёт $y \in z$. Если в IIa "$z$ для которого $x \in z$ и $y \in z$. но т. к. не существует $y \in z$, то $z$ пусто и непусто одновременно? И если с IIa этот номер не проходит, то нет ли у Вас соображений как исправить ситуацию с IIa'?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 17:40 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Так в IIa "для всех $z$", а не "существует".

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 17:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Alexey Romanov!
Нет ли у Вас соображений как исправить ситуацию с IIa'? Должно же существовать противоположное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 18:05 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Alexey Romanov в сообщении #369274 писал(а):
$z$ для которого $x \in z$ и $y \notin z$, или $x \notin z$ и $y \in z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Alexey Romanov в сообщении #369300 писал(а):
Alexey Romanov в сообщении #369274 писал(а):
$z$ для которого $x \in z$ и $y \notin z$, или $x \notin z$ и $y \in z$

Определение IIа'. $x$ называется отличным от $y$ ($x\neq y$) тогда и только тогда, когда существует $z$ для которого $x\in z$ и $y\notin z$, или $y\in z$ и $x\notin z$, то есть существует множество, которое содержит одно из множеств $x$ или $y$, но не содержит другое. И если $x$ не отличен от $y$, то $x$ называется равным $y$ ($x = y$) (или множества $x$ и $y$ называются равными).

Теперь без вранья?

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство множеств
Сообщение02.11.2010, 18:22 


31/01/09
96
Москва, мехмат МГУ, МИЭТ
Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 156 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group