Комплексная степень и гипербола

[sekhvor]

Господа, есть ли в этом какой-то смысл???
$(a^i)^i=a^(^i^*^i^)=a^-^1=\frac1a$

[caxap]

Есть

[ewert]

Есть, но очень маленький (собственно, бесконечно маленький). Это -- лишь одно из возможных значений того выражения, в то время как количество тех возможных значений -- вообще говоря, бесконечно.

[sekhvor]

Большое спасибо! Очень хорошо что много. Раз этого много, то может быть там есть привязка этого выражения к проблеме "что есть возведение в мнимую степень".
Что это за операция двойное применение которой приводит к обратному числу?
Ну не деление-же два раза само на себя!!! Ведь тогда $a^i=1$ -бред (или нет).
Как построить геометрически обратное число?
Почему свойства единичного действительного вектора (наверное применение слова "вектор" неуместно, мы пока в алгебре) и мнимой единицы такие разные.
Операции над действительными не превращают число в мнимое, в операции над мнимым - превращают легким движением в действительное. Хотя внешне выглядит как подчинение правилам умножения.Снимаю вопрос о единичном векторе. В конце концов ответ здесь такой - мы сами придали ему такие свойства (это ответ на уровне матаматики, на уровне физики пока нет). Стирать не буду, может быть кому-то будет интересно.
Пожалуйста, подскажите где найти ДОКАЗАТЕЛЬСТВО формул, связывающих гиперболу (1/х), с числом (е), логарифмом. Только не через ряды (ну если нет, то хотя-бы через ряды). Что-то все пишут как очевидный факт.
Премного благодарен за отклик.
Спасибо если ответите.

[Виктор Викторов]

sekhvor!
Вам нужно начать учиться. Вот Вам план:
1. Определение комплексных чисел.
2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
3. Показательная форма комплексного числа.
А там Вы уже поймете, что такое логарифм и т. д.

[sekhvor]

Ну вот, не успел сказать двух слов - наехали.
Многоуважаемый Виктор Викторов, вы бы лучше в этих пяти строчках написали названия пяти хороших книг.
Пожалуйста, намекните, как на основании определения комплексного числа я пойму, что такое логарифм?
Если можно, давайте не тратить время на болтовню.
Если мои вопросы не корректны - скажите где и в чем. Будем исправлять.
А учиться надо всегда и всем: кому математике, кому этике.

[brimal]

Если можно, то гг. Викторов и ewert не могли бы поподробнее объяснить
Ваши соображения.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

sekhvor в сообщении #366947 писал(а):

Ну вот, не успел сказать двух слов - наехали.

Вы перепутали. Это математический сайт, а не разборки в подворотне.

sekhvor в сообщении #366947 писал(а):

Многоуважаемый Виктор Викторов, вы бы лучше в этих пяти строчках написали названия пяти хороших книг.

На этом сайте принято выделять ник оппонента жирным шрифтом. Что касается "названия пяти хороших книг", поройтесь в интернете.

sekhvor в сообщении #366947 писал(а):

Пожалуйста, намекните, как на основании определения комплексного числа я пойму, что такое логарифм?

Намекаю. Узнав что такое показательная форма комплексного числа, Вы сможете понять, что логарифм бывает не только от положительного вещественного числа..

(Оффтоп)

sekhvor в сообщении #366947 писал(а):

Если можно, давайте не тратить время на болтовню.

Можно. Я не собираюсь с Вами вообще больше разговаривать.

-- Ср окт 27, 2010 14:36:05 --

brimal в сообщении #366960 писал(а):

Если можно, то гг. Викторов и ewert не могли бы поподробнее объяснить
Ваши соображения.

На этом сайте принято выделять ник оппонента жирным шрифтом. Мой ник Виктор Викторов.

[brimal]

Дресс код,конечно, хороший прием. Только хотелось бы по существу.
Ну, спуститесь к дилетентам и объясните в чем ошибка. Пожалуйста.

[maxmatem]

brimal
А какой тут вообще ошибки может быть речь, пока,что даже не о чем говорить. Как мне показалось у вас нет элементарных познаниях в теории функций комплексного переменного.(Эту фразу не надо воспринимать как претензию,а как просто констатацию факта., который имеет место быть. )

[Ales]

sekhvor в сообщении #365658 писал(а):

Большое спасибо! Очень хорошо что много. Раз этого много, то может быть там есть привязка этого выражения к проблеме "что есть возведение в мнимую степень".
Что это за операция двойное применение которой приводит к обратному числу?
Ну не деление-же два раза само на себя!!! Ведь тогда $a^i=1$ -бред (или нет).
Как построить геометрически обратное число?
Почему свойства единичного действительного вектора (наверное применение слова "вектор" неуместно, мы пока в алгебре) и мнимой единицы такие разные.
Операции над действительными не превращают число в мнимое, в операции над мнимым - превращают легким движением в действительное. Хотя внешне выглядит как подчинение правилам умножения.Снимаю вопрос о единичном векторе. В конце концов ответ здесь такой - мы сами придали ему такие свойства (это ответ на уровне матаматики, на уровне физики пока нет). Стирать не буду, может быть кому-то будет интересно.
Пожалуйста, подскажите где найти ДОКАЗАТЕЛЬСТВО формул, связывающих гиперболу (1/х), с числом (е), логарифмом. Только не через ряды (ну если нет, то хотя-бы через ряды). Что-то все пишут как очевидный факт.
Премного благодарен за отклик.
Спасибо если ответите.

Когда речь идет о комплексных степенях, то надо помнить, что это всего лишь алгебраические условности.
По определению, для комплексных чисел $a,b$, $a^b$ это $e^{blna}$.
Найдите в Википедии "формула Эйлера", там подробно описано.
Комплексная экспонента - это сумма бесконечного ряда.

Натуральный логарифм (функция обратная $e^x$) - интеграл гиперболы: $lnx=\int{\frac1x}dx $.
Почему это так?
Предположим, что мы не знаем, что такое интеграл гиперболы (площадь под гиперболой),
и будем исследовать его свойства.
Пусть $y=\int{\frac1x}dx$.
Возьмем его дифференциал $dy={\frac1x}dx$.
Умножим обе части на $x$, получим: $dx=xdy$.
Обратная функция к нашему интегралу, с помощью которой мы по $y$ находим $x$, имеет скорость роста $\frac{dx}{dy}$ равную самой себе, то есть $x$. А это как все знают экспонента. Значит сам интеграл - логарифм.
Чтобы доказать, что это действительно экспонента можно на выбор:
1. найти ряд Тейлора, учитывая что производные всех порядков равны самой функции
2. применить теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения
3. показать, что если $x(0)=1$, то $x(y_1+y_2)=x(y_1)x(y_2)$, свойство степеней и логарифмирования

[sekhvor]

Виктор Викторов, прошу прощения за проявленную нетактичность. Это просто незнание с моей стороны. Еще раз прошу прощения.
Книги - порылся, накачал, читаю, спасибо.

Ales
То, что вы написали очень мне помогло. Только прошу подробнее в этой фразе.

Обратная функция к нашему интегралу, с помощью которой мы по $y$ находим $x$, имеет скорость роста $\frac{dx}{dy}$ равную самой себе, то есть $x$. А это как все знают экспонента. Значит сам интеграл - логарифм.

Мои знания.
Образование высшее техническое, т. е. формулы знаю, применять - применяю, но мне по работе надо уметь понимать связь формулы с явлением. У нас этому не учат. Как правило понимание связано с основами. Отсюда и копание неизвестно в чем.

Ладно, тогда следующий вопрос.
Преобразование Лапласа.
С каким свойством интеграла связано его наличие в этом преобразовании?
Можно ли это свойство увидеть на какой-либо модели? Или все свойства преобразования определены единым видом формулы.

[ewert]

sekhvor в сообщении #367786 писал(а):

Преобразование Лапласа.С каким свойством интеграла связано его наличие в этом преобразовании?

Со свойством интеграла, заключающимся в том, что интеграл можно использовать в т.ч. и для определения преобразования Лапласа.

Т.е. вопрос бессмысленен. Осмысленным был бы, например, вопрос о том, благодаря каким своим свойствам преобразование Лапласа полезно.

[sekhvor]

ewert
Спасибо, вы говорите о преобразовании с точки зрения его целостности, но я хотел рассмотреть преобразование Лапласа по частям.
1-часть. У нас есть функция, которую умножаем на $e^-^s^t$. Действительная часть обеспечивает сходимость. Но, что происходит с функцией после умножения на $e^-^j^\omega$? Какие свойства приобрела или потеряла исходная функция после этого действия?
2-часть. Интегрируем. Опять тот-же вопрос. Какие свойства приобрела или потеряла исходная функция после этого действия?

Мне кажется, что такие задачи не решались формальным путем. Обязательно была исходная задача и цель. Преобразование выглядит не как математический вывод, а как математическая запись умозаключения.

Итак, вопросы то частям.
1. Что происходит с функцией после умножения на $e^-^j^\omega$? Какие свойства приобрела или потеряла исходная функция после этого действия?
2. Что происходит с функцией после интегрирования? Какие свойства приобрела или потеряла исходная функция после этого действия?

[ewert]

sekhvor в сообщении #368017 писал(а):

Обязательно была исходная задача и цель. Преобразование выглядит не как математический вывод, а как математическая запись умозаключения.

Итак, вопросы то частям.
1. Что происходит с функцией после умножения на ? Какие свойства приобрела или потеряла исходная функция после этого действия?
2. Что происходит с функцией после интегрирования? Какие свойства приобрела или потеряла исходная функция после этого действия?

Ничего, никогда и незачем. Вы систематически стараетесь ставить именно бессмысленные вопросы. Ибо все они -- сугубо технические. Между тем было некогда сказано: "Обязательно была исходная задача и цель". Вот и попытайтесь осознать, что было исходной целью (технические моменты типа интегрируемость и пр. -- таковой, естественно, служить не могли).