2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Корни многочлена
Сообщение25.10.2010, 19:39 
Заслуженный участник


03/12/07
343
Многочлен $P(x)$ степени $n$ имеет $n$ различных корней: ${x_1}, \ldots ,{x_n}$.
Доказать, что $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ и $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{P''}({x_i})}}{{{P'}({x_i})}} = 0} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение25.10.2010, 19:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Простите, $P^\text{что}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение25.10.2010, 21:07 
Заслуженный участник


03/12/07
343
ИСН! Спасибо, исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение25.10.2010, 22:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10609
Crna Gora
Рассмотрим функцию $1/P(z)$ комплексного аргумента $z$. Она имеет $n$ различных простых полюсов в точках $z=x_i$, в каждом из которых её вычет равен $1/P'(x_i)$. Далее, если степень полинома выше 1, то вычет $1/P(z)$ в бесконечности равен нулю – подынтегральная функция в соответствующем интеграле быстро убывает. Сумма всех вычетов равна нулю – что и приводит к формуле $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{P'}({x_i})}} = 0} $.

Если степень полинома равна 1, то это доказательство не проходит, но ведь и формула неверна!

P.S. Вторая формула, кажется, доказывается аналогично, только надо рассмотреть функцию $P''(z)/P(z)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.10.2010, 23:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
svv в сообщении #366254 писал(а):
Если степень полинома равна 1, то это доказательство не проходит, но ведь и формула неверна!

Если степень полинома равна единице, откуда у него возьмутся различные корни?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение26.10.2010, 08:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Edward_Tur в сообщении #366143 писал(а):
Многочлен $P(x)$ степени $n$ имеет $n$ различных корней: ${x_1}, \ldots ,{x_n}$.
Доказать, что $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ и $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{P''}({x_i})}}{{{P'}({x_i})}} = 0} $.


$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{P'}({x_i})}}$ и $\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{P''}({x_i})}}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ - это разделённые разности $(n-1)$- го порядка для функций $1$ и $P''(x)$ соответственно. Т.е. это $(n-1)$-е производные этих функций в какой-то точке (делённые на $(n-1)!$).

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение26.10.2010, 10:16 
Заслуженный участник


23/07/08
10609
Crna Gora

(Оффтоп)

arqady в сообщении #366279 писал(а):
Если степень полинома равна единице, откуда у него возьмутся различные корни?

Если степень полинома равна единице, все его корни различны, то есть нет двух совпадающих корней с различными значениями индекса, то есть нет кратных.
Обычный математический язык, что удивительного? Договоренности таковы, чтобы общие утверждения не требовали отдельных формулировок для $n=1$. Например, множественное число ("векторы базиса") допускает также истолкование "единственный вектор базиса", многоточие $x_1, ..., x_n$ не означает, что в списке есть еще элементы, отличные от $x_1$ и $x_n$. И т. д.

 Профиль  
                  
 
 Ещё два тождества
Сообщение26.10.2010, 11:09 
Заслуженный участник


03/12/07
343
$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{x_i}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ для $n>2$.
$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{1}}{{{{x_i}P'}({x_i})}} = -\frac{1}{P(0)} $ для $n>1$ и $P(0) \ne 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ещё два тождества
Сообщение26.10.2010, 11:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Edward_Tur в сообщении #366356 писал(а):
$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{x_i}{{{P'}({x_i})}} = 0} $ для $n>2$.
$\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{1}}{{{{x_i}P'}({x_i})}} = -\frac{1}{P(0)} $ для $n>1$ и $P(0) \ne 0$.

Это опять всё те же разделённые разности, т.е. производные. В первом тождестве в числителе можно ставить любой полином $G(x_i)$ степени $n-2$ (или меньше), во втором тождестве - степени $n-1$

$$\sum_{i=0}^{n}\frac{G(x_i)}{\displaystyle\prod_{k=0, \;k\neq i}^{n}(x_i - x_k)}=\frac{G^{(n)}(\Theta)}{n!}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение26.10.2010, 17:08 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
svv в сообщении #366346 писал(а):
Например, множественное число ("векторы базиса") допускает также истолкование "единственный вектор базиса"

А если "различные векторы базиса" подобно тому, как в исходной задаче? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение26.10.2010, 19:20 
Заслуженный участник


23/07/08
10609
Crna Gora

(Оффтоп)

Простите, что вопросом на вопрос, но скажите честно: неужели формулировки типа "$n$ различных корней" в математических книгах, с Вашей точки зрения, являются надежным свидетельством того, что автор исключает случай $n=1$? По Вашему немалому читательскому опыту?

Имхо, по умолчанию этот случай включается, а его исключение должно оговариваться. Слово же "различные" таковой оговоркой не является, оно означает "если больше одного, то разные". Для краткости.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.10.2010, 21:59 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
svv в сообщении #366498 писал(а):
[off] По Вашему немалому читательскому опыту?

Мне нравится читать и понимать то, что написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение27.10.2010, 02:01 
Заслуженный участник


23/07/08
10609
Crna Gora

(Оффтоп)

Ваше желание понятно. Но существуют условности устоявшегося языка. И я попробую продемонстрировать, что это очень хорошо. :-)
Вот парочка примеров.
1) Д. Пойа, Математика и правдоподобные рассуждения, с. 40.
Цитата:
Если уравнение $n$-й степени
$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0$

имеет $n$ различных корней
$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n,$

то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен как произведение $n$ линейных множителей,
$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = a_n (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n).$

2) Э.Артин, Геометрическая алгебра, с. 17-18.
Цитата:
Подмножество $S$ называется независимым, если линейная комбинация $A_1 a_1 + A_2 a_2 + ... + A_r a_r $ различных элементов из $S$ является нулевым вектором только в том случае, когда все $a_i = 0$. Поэтому, в частности, пустое множество независимо.

Если, читая подобные фразы, Вы полагаете, что область их применимости ограничена условием $n \geq 2$, на том основании, что говорится о различных элементах, Вы совершаете досадную ошибку. В обоих случаях установившиеся условности математических текстов позволяют без особого напряга трактовать приведенные утверждения не только в случае $n=1$, но и в случае $n=0$. Во всяком случае, именно такое понимание закладывал в свой текст Э.Артин - как иначе получить из сказанного, что "пустое множество независимо"? Условились уже давно, например, что сумма нулевого числа слагаемых равна 0, что произведение нулевого числа сомножителей равно 1, а сумма одного слагаемого равна ему самому. Что 0 корней – это отсутствие корней и т. д. Что пустое множество, наконец, вопреки происхождению термина от слова "много", вовсе не содержит элементов...

Язык этот сформировался под действием стремления математиков как можно более лаконичными формулировками охватить как можно более общий случай. И сейчас, думаю, вот так никто не пишет:
Цитата:
Если уравнение $n$-й степени, где $n \geq 2$
$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0$

имеет $n$ различных корней
$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n,$

то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен как произведение $n$ линейных множителей,
$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = a_n (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n),$

если же уравнение 1-й степени имеет корень $\alpha_1$, то многочлен, стоящий в его левой части, может быть представлен в виде
$a_0 + a_1 x= a_1 (x-\alpha_1).$


P.S. И ещё пример: "Отображение множества $X$ в множество $Y$ называется инъекцией, если образы различных элементов $X$ различны".
А если в множестве $X$ только один элемент, так что двух различных элементов не найдется, можно это назвать инъекцией? По-Вашему - нет, но математики решили иначе. Если один элемент - это всегда инъекция. Язык у них такой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.10.2010, 05:41 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
svv, мне представляется, что если в задаче говорится о данных различных числах, то и решать нужно именно эту задачу. Если интересно проверить, что происходит, когда дано одно число - ну так на здоровье, только это уже другая задача.
Скажу напоследок, что не увидел никакой связи между трактовкой условия исходной задачи и приведёнными Вами утверждениями, а в словах, идущих после определения инъекции, Вы приписали мне то, что я не говорил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни многочлена
Сообщение27.10.2010, 08:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Цитата:
Многочлен $P(x)$ степени $n$ имеет корни ${x_1}, \ldots ,{x_n}$, среди которых нет одинаковых.
Такому многочлену разрешается иметь первую степень?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group