Метрический тензор при преобразовании координат

[evgeniy]

Рассмотрим систему координат $x_l=x_l^0(y_1,...,y_N)$ не обязательно ортогональную. Для этой системы координат определим метрический тензор, по формуле $g_{nm}=\sum_{l=1}^{N}\frac{\partial x_l}{\partial x_n}\frac{\partial x_l}{\partial x_m}$. введем координаты, чтобы выполнялась формула
$dx_l=\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial x_l^0}{\partial q_k}dq_k/\sum_{s=1}^{N}(\frac{\partial x_s^0}{\partial q_k})^2$
откуда зависимость $x_l=x_l(q_1,...,q_N)$ определится из уравнения в виде градиента
$\frac{\partial x_l}{\partial q_k}=\frac{\partial x_l^0}{\partial q_k}/\sum_{s=1}^{N}(\frac{\partial x_s^0}{\partial q_k})^2$
Решение этого уравнения определяется по изложенному решению уравнения Пфаффа, размещенному в этом же разделе.
Каковы следствия этого пробразования. Метрический тензор $h_{nm}$ переменных $q_l$ выражается через метрический тензор $g_{nm}$ переменных$y_k$ по формуле
$h_{nm}=\frac{g_{nm}}{\sqrt{g_{nn}g_{mm}}}$
и при ортогональном тензоре $g_{nm}$, пространство становится Евклидовым в координатах $q_l$ . Очень спорный результат, но что получил, то и излагаю.

[evgeniy]

Должен исправить ошибку в формуле
$\frac{\partial x_l}{\partial q_k}=\frac{\partial x_l^0}{\partial q_k}/\sqrt{\sum_{s=1}^N(\frac{\partial x_s^0}{\partial q_k})^2}$
в двух приведенных в сообщении формул отсутствует знак квадратного корня
они записаны в виде
$\frac{\partial x_l}{\partial q_k}=\frac{\partial x_l^0}{\partial q_k}/\sum_{s=1}^N(\frac{\partial x_s^0}{\partial q_k})^2$
что неправильно, числитель и знаменатель должны быть одинакового порядка величины.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #363295 писал(а):

Очень спорный результат, но что получил, то и излагаю.

А как насчет применить этот гениальный метод к двумерной сферe. Сделайте в каких-то координатах ее метрику Евклидовой и объясните, куда делась кривизна.

[Munin]

Сравнивая с формулой для метрического тензора при изменении системы координат

$$g'_{\mu\nu}=g_{\rho\sigma}\frac{\partial x^\rho}{\partial x'^\mu}\frac{\partial x^\sigma}{\partial x'^\nu},$$

видим, что пространство $(y_1,\ldots y_N)$ было изначально наделено евклидовой метрикой. Если рассматривать евклидово пространство в каких угодно координатах, то оно и получится евклидовым.

Почитайте учебник по неевклидовой геометрии, ещё раз вам говорят. Учебники по криволинейным системам координат вам не помогут, они излагают только упрощённый вариант.

[Padawan]

evgeniy
Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Там и криволинейные координаты в евклидовом пространстве отдельно подробно разобраны, и общий случай риманова пространства.

[evgeniy]

Отличие криволинейных координат от Евклидовых проявляется в вычислении приращения от вектора, или дифференцировании равенства
$A_i=\frac{\partial x_i^0}{\partial x^{k'}}A_k^{'}$
Тогда возникают члены
$\frac{\partial A_i}{\partial x^n}=\frac{\partial^2 x_i^{0}}{\partial x^{n'} \partial x^{k'}}A_k^{'}+\frac{\partial x_i^0}{\partial x^{k'}}\frac{\partial x_q^0}{\partial x^{n'}}\frac{\partial A_k^{'}}{\partial x^{q'}}$
соответствующие второй производной $\frac{\partial^2 x_i^{0}}{\partial x^{n'} \partial x^{k'}}$. Если вторая производная равна нулю, то система координат декартова.
В моем преобразовании нет повторного дифференцирования, используется дифференцирование координаты $x_i$ , определяя вектор
$dx_i=\frac{\partial x_i^0}{\partial x^{k'}}dx_k^{'}$
производная от которого не считается. Ошибка может заключаться только в решении уравнения Пфаффа. Т.е. в определении функции $x_l$ по ее градиенту, т.е. в решении уравнения $\frac{\partial x_l}{\partial q_n}=A_{nl}(q_1,...,q_N)$

[Munin]

В чём заключается ваша ошибка, вам уже сказали. Вам не надоело?

[evgeniy]

Бог ты мой, сколько ненависти и негодования. Нельзя быть таким нетерпимым к чужому мнению.
Ошибка совсем в другом.
ПРедлагаемое преобразование координат в переменных $q_1,q_2$ имеет вид
В случае двумерной сферы
$dx=sinq_2dq_1+cosq_2dq_2$
$dy=cosq_2dq_1-sinq_2dq_1$
Если можно решить это уравнение, определив x,y как функции $q_1,q_2$, то получается ортогональная декартова система координат. Решаем предлагаемым способом, записывая уравнение характеристик
$\frac{dq_1}{dt}=-cosq_2$
$\frac{dq_2}{dt}=sinq_2$
Решая это дифференциальное уравнение, получим потенциал
$x=\phi(q_1,q_2)=q_1+lnsinq_2$
Этот потенциал находится верно, но удовлетворяет уравнению
$dq_1+ctgq_2dq_2=0$
и следовательно имеем
$dx=sinq_2d\phi$
Т.е. получается, что решение уравнения Пфаффа не удовлетворяет требуемым условиям, возник интегрирующий множитель.

[evgeniy]

Да эту тему можно спокойно отправить в карантин. Вcе дело в том, что система уравнений
$dx_l=\sum_m A_{lm}dq_m$
которую я предлагал решать в другой теме, решается с точностью до множителя
$dx_l=\alpha_ldy_l,l=1,...,N$
и не определяет новую систему координат, для которой я расчитывал получить функцию $x_l=x_l(y_1,...,y_N),l=1,...,N$, которая по моим расчетам определяла бы в некоторых случаях систему координат декарта, с диагональным метрическим тензором, равным единице.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #366481 писал(а):

Да эту тему можно спокойно отправить в карантин.

RIP

[Time]

Padawan в сообщении #363872 писал(а):

Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Там и криволинейные координаты в евклидовом пространстве отдельно подробно разобраны, и общий случай риманова пространства.

evgeniy
Может Вам лучше посмотреть другую книгу П.К.Рашевского "Геометрическая теория уравнений с частными производными", в частности, Х главу посвященную финслеровым пространствам? Вполне возможно, что то, чего Вам не удается найти в римановых пространствах, иногда будет получаться там.. А еще лучше обратить внимание на линейные финслеровы пространства очень и очень частного вида, а именно, когда им соответствуют коммутативно-ассоциативные алгебры.

[Munin]

evgeniy в сообщении #364923 писал(а):

Нельзя быть таким нетерпимым к чужому мнению.

Нельзя разглагольствовать про "мнения" в сфере, в которой всё давно разобрано и вписано в учебники. Таблицу умножения, слава богу, не по мнениям учат.

[moscwicz]

Time в сообщении #366486 писал(а):

Может Вам лучше посмотреть другую книгу П.К.Рашевского "Геометрическая теория уравнений с частными производными", в частности, Х главу посвященную финслеровым пространствам? Вполне возможно, что то, чего Вам не удается найти в римановых пространствах, иногда будет получаться там.. А еще лучше обратить внимание на линейные финслеровы пространства очень и очень частного вида, а именно, когда им соответствуют коммутативно-ассоциативные алгебры.

Правильно! в римановой геометрии он не шарит, самое время садиться за финслерову. Мне это напоминает, как не очень грамотные вузовские преподы, придя подрабатывать в физ-мат школу, начинают задвигать про двойные интегралы, просто потому, что не могут преподавать элементарную математику, которая не совсем элементарная при должном подходе.

[Jnrty]

Jnrty:

Переношу тему в "Пургаторий (М)".
Time, предупреждение за offtopic и рекламу.