2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коза на круглом лугу: любимая задача Льва Толстого
Сообщение20.10.2010, 23:16 


26/08/10
646
Два крестьянина владели пополам лугом совершенно круглой формы. Поднялась трава, пришло время луг косить, тут один владелец говорит другому, мол, не хочу я косить, лень мне, я лучше козу пущу, она мою половину луга сама объест. Другой удивляется: это как, она же весь луг объест? Ничего подобного, отвечает первый, у меня веревка как раз такой длины, что если привязать ее к колышку, забитому на самом краю луга, коза объест ровно половину, дальше не достанет.
Какой длины у него была веревка?

С уважением,
Лев Магазаник

PS Может, правда, что эту задачу любил Лев Толстой, а может, вранье, точно не знаю, я так в детстве слыхал, это давно было, теперь переспросить не у кого.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2010, 00:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Интересно, если колышек - прямой круговой цилиндр с основанием радиуса $r$, касаюшимся внутренним образом нашего луга радиуса $R$. Верёвка же тонкая и привязана в упомянутой точке касания. Какой должна быть длина верёвки, чтобы коза съела пол луга?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коза на круглом лугу: любимая задача Льва Толстого
Сообщение21.10.2010, 01:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Там получается сумма двух круговых секторов должна быть $\dfrac{\pi R^2}{2}$. Сами сектора у меня получились сложными функциями через арксинус от $x$. Примерно так:
$S_1=\dfrac{R^2}{2}\arcsin{\left(\dfrac{x\sqrt{4R^2-x^2}\sqrt{4R^4-x^2(4R^2-x^2)}}{2R^4}\right)}-\dfrac{x\sqrt{4R^2-x^2}\sqrt{4R^4-x^2(4R^2-x^2)}}{4R^2}$

Выразить $x$ через $R$ к сожалению не удалось. :? Приближенный ответ x=1,26557R.
Должно быть другое, более красивое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коза на круглом лугу: любимая задача Льва Толстого
Сообщение21.10.2010, 03:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


10/10/07
715
Южная Корея
Тупо интегрируя площади под сегментами кругов
(поляна - радиус $R$, длина веревки - $r$)

$\int_{0}^{r^2/(2R)} \sqrt{R^2-(x-R)^2} dx+\int_{r^2/(2R)}^{r} \sqrt{r^2-x^2} dx = \pi R^2/4$

Увы, удалось вытащить из MathCADa только такое вот численное решение: $r=1.159R$

Чего-то не сходится у нас :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коза на круглом лугу: любимая задача Льва Толстого
Сообщение21.10.2010, 04:10 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
powerZ в сообщении #364297 писал(а):
Увы, удалось вытащить из MathCADa только такое вот численное решение: $r=1.159R$
У меня ответ такой же:
$x=2\cos{\frac{\omega}2}$
где
$\omega \cos \omega = \frac {\pi} 2 + \sin \omega$

(PS)

Задача не понравилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коза на круглом лугу: любимая задача Льва Толстого
Сообщение21.10.2010, 09:28 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
powerZ
Проверил визуально не чертеже - у Вас красивее. Видимо где-то с арксинусами напутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коза на круглом лугу: любимая задача Льва Толстого
Сообщение23.10.2010, 10:33 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
venco в сообщении #364299 писал(а):
где
$\omega \cos \omega = \frac {\pi} 2 + \sin \omega$

Потеряли минус перед $\frac{\pi}2$.
venco в сообщении #364299 писал(а):
Задача не понравилась.

Ну двоим крестьянам делить не интересно, а какова будет длина веревки, если их будет 7 человек?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коза на круглом лугу: любимая задача Льва Толстого
Сообщение23.10.2010, 18:23 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я тоже подумал, что venco ошибся в знаке. Но формально ошибки нет: его $\omega$ будет ту же абсолютную величину и знак, противоположный Вашему углу (может, он так его определял), а на $x$ это не повлияет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group