2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 10:32 
Назовём число нормальным, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Чему равна наибольшая (по модулю) разность между двумя соседними нормальными шестнадцатизначными числами?

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 10:42 
Вы задаете в этом разделе одни очевидные детские задачи. На мой взгляд они не тянут на раздел олимпиадных.

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 10:47 
Руст в сообщении #363173 писал(а):
Вы задаете в этом разделе одни очевидные детские задачи. На мой взгляд они не тянут на раздел олимпиадных.

(Оффтоп)

Нет проблем. Больше не буду. Бай!

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 11:12 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Xenia1996
Ну зачем так? Просто задайте Руст задачку раз в десять сложнее :D
Положим, существуют ли нормальные шестнадцатизначные четырехзначные числа сумма квадратов которых - простое число.

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 11:27 
age в сообщении #363182 писал(а):

Положим, существуют ли нормальные шестнадцатизначные четырехзначные числа сумма квадратов которых - простое число.[/off]

Что подразумеваете под словом нормальные?
Под суммой квадратов наверно имеете в виду сумма квадратов цифр данного числа.
Пример $10^{15}+1$ вас устроит? (2 ведь простое).

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 11:33 
Аватара пользователя
Xenia1996 в сообщении #363169 писал(а):
Назовём число нормальным, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах.

Вот такие вот "нормальные".
Вернее не так (с простыми числами долго и нудно).
Смысл такой: пусть $A_4$ $B_4$, $C_4$ - четырехзначные "нормальные" числа. Найти $C_4^2=A_4^2+B_4^2$.

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 11:53 
Xenia1996 в сообщении #363169 писал(а):
Назовём число нормальным, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Чему равна наибольшая (по модулю) разность между двумя соседними нормальными шестнадцатизначными числами?

Прошу прощения, я перепутала! Я имела в виду "счастливость по-московски", а написала "по-ленинградски". Не сумма цифр на чётных и нечётных местах, а сумма первых восьми цифр равна сумме последних.

(Оффтоп)

И тогда ответ, вроде, получается 100000001

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 13:05 
Руст в сообщении #363173 писал(а):
Вы задаете в этом разделе одни очевидные детские задачи. На мой взгляд они не тянут на раздел олимпиадных.

Если сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, то число делится на 11. Но вот обратное утверждение...

Так что же тут детского?

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 13:30 
Аватара пользователя
Про делимость на $11$ я забыл, мои задачи снимаются.
Xenia1996 в сообщении #363200 писал(а):
Но вот обратное утверждение...

Верно и обратное (неверно из-за переносов разрядов).

(Доказательство)

Пусть число $A$ делится на $11$, и пусть частное от деления $B=10^ka+10^{k-1}b+...+10c+d$.
Умножим его на $11$:
$11B=[10^{k+1}a+10^kb+...+10^2c+10d]+[10^ka+10^{k-1}b+...+10c+d]$.
Можете сами убедиться что у последней суммы в правой части суммы цифр на четных и нечетных местах равны, и равны $a+b+...+c+d$
Увы, неверно, забыл про переносы разрядов через значение $10$.

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 13:35 
age в сообщении #363203 писал(а):
Верно и обратное.

Нет.

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 13:44 
age в сообщении #363203 писал(а):
Про делимость на $11$ я забыл, мои задачи снимаются.
Xenia1996 в сообщении #363200 писал(а):
Но вот обратное утверждение...

Верно и обратное.

(Доказательство)

Пусть число $A$ делится на $11$, и пусть частное от деления $B=10^ka+10^{k-1}b+...+10c+d$.
Умножим его на $11$:
$11B=[10^{k+1}a+10^kb+...+10^2c+10d]+[10^ka+10^{k-1}b+...+10c+d]$.
Можете сами убедиться что у последней суммы в правой части суммы цифр на четных и нечетных местах равны, и равны $a+b+...+c+d$

Не-а! Вот контрпример: 40007

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 13:45 
Аватара пользователя
Xenia1996 в сообщении #363169 писал(а):
Назовём число нормальным, если сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах. Чему равна наибольшая (по модулю) разность между двумя соседними нормальными шестнадцатизначными числами?
Попробую отгадать: $10^7-10^5.$ Кто больше?
$10^8-10^6$

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 13:54 
Аватара пользователя
У меня меньше получилось (шести-значные): $999999-100001=899998$

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение18.10.2010, 15:57 
age, в задании говорится про соседние нормальные числа, а ваши далеко не являются соседними)

(Оффтоп)

Полагаю это числа 9999999999999999 и 9999999899999998, тогда разница- $10^8+1$

Вообще ответ напрашивается сразу, но вот как сформулировать точное доказательство - тут уже возникают некоторые проблемы)

2Руст. Может быть для вас такие задания и являются простыми, но они олимпиадные, так как не являются школьными...

 
 
 
 Re: Нормальные числа
Сообщение19.10.2010, 04:35 
Аватара пользователя
MrDindows в сообщении #363241 писал(а):
age, в задании говорится про соседние нормальные числа, а ваши далеко не являются соседними)

(Оффтоп)

Полагаю это числа 9999999999999999 и 9999999899999998, тогда разница- $10^8+1$

Вообще ответ напрашивается сразу, но вот как сформулировать точное доказательство - тут уже возникают некоторые проблемы)
9999999899999998+2=9999999900000000 - вот одна проблема

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group