2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Связность R
Сообщение17.10.2010, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
Padawan в сообщении #359023 писал(а):
Теорема. Числовая прямая $\mathbb R$ является связным топологическим пространством, т.е. $\mathbb R$ нельзя разбить на два непустых открытых множества.

От противного. Если $\mathbb R$ несвязно, то его можно разбить на два открытых непересекающихся множества. Каждое из которых в свою очередь представимо как счетное объединение взаимно непересекающихся открытых интервалов. Итак, $\mathbb R$ представлено, как счетный набор непересекающихся открытых интервалов. Возьмем один из них $(a, b)$. Точка $b$ не входит ни в один из открытых интервалов. Противоречие. $\mathbb R$ связно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связность R
Сообщение18.10.2010, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/04/09
1351
ewert в сообщении #359043 писал(а):
Другой вариант д-ва. Пусть вся ось разбита на два непересекающихся непустых открытых множества $A$ и $B$. Каждое из них является объединением не более чем счётного количества непересекающихся интервалов. Пусть $a$ -- граница одного из таких интервалов, образующих $A$. Эта точка не принадлежит самому интервалу и не может принадлежать никакому из других интервалов, образующих $A$ или $B$ (ввиду непересечения этих интервалов). Т.е. вообще не принадлежит ни $A$, ни $B$. Нехорошо, ч.т.д.

Виктор Викторов в сообщении #363038 писал(а):
От противного. Если $\mathbb R$ несвязно, то его можно разбить на два открытых непересекающихся множества. Каждое из которых в свою очередь представимо как счетное объединение взаимно непересекающихся открытых интервалов. Итак, $\mathbb R$ представлено, как счетный набор непересекающихся открытых интервалов. Возьмем один из них $(a, b)$. Точка $b$ не входит ни в один из открытых интервалов. Противоречие. $\mathbb R$ связно.


Извините ewert! Получился плагиат. Я просто не всё прочитал. Каюсь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group