2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение03.10.2010, 19:05 


03/10/10
21
Подскажите/подтолкните на правильный путь в следующей задаче:

Пусть $(X_n)$ - марковская цепь со значениями во множестве $\{ -1, 0, 1\}$, пусть $p_{ij}>0, i,j \in \{ -1, 0, 1\}$. Дать необходимые и достаточные условия для того, чтобы последовательность $(|X_n|)$ образовывала марковскую цепь.

Я рассматривал условие $p_{-10}=p_{10}$. Достаточность этого условия показать нетрудно. В обратную же сторону как-то не очень получается. Дошел до того, что $ \forall n P(X_{n-1}=0| X_n=1) = P(X_{n-1}=0| X_n=-1)$, то есть надо чтоб цепь была обратима, а условием это не предусматривается. Так как все же быть?

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 00:29 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Нарисуйте цепь $X_n$ с состояниями $\{-1,0,1\}$ и рассмотрите случайную величину $|X_n| \in \{0,1\}$. Пусть цепь $X_n$ попадает в состояние $\{-1\}$, это означает, что случайная величина $|X_n|=1$. Аналогично, если цепь $X_n$ попадает в состояние $\{1\}$, то случайная величина $|X_n|=1$.
Пусть $|X_n|=1$. Чему равна вероятность, что $|X_{n+1}|=1$ и от чего зависит эта вероятность?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 01:08 


03/10/10
21
$$P\{|X_{n+1}|=1 \mid |X_n|=1\}=\frac{P\{|X_{n+1}|=1 ,|X_n|=1\}}{P\{ |X_n|=1\}}=$$
$$= \frac{ (p_{11}+p_{1-1}) P\{X_n=1\} + (p_{-11}+p_{-1-1})P\{X_n=-1\} } {P\{ |X_n|=1\}} $$

Цитата:
Чему равна вероятность $|X_{n+1}|=1$ и от чего зависит эта вероятность?

В смысле от чего зависит? От того, какое значение принимает $|X_n|$. Если имелось в виду, отчего заивисит $P\{|X_{n+1}|=1 \mid |X_n|=1\}$, то вроде ни от чего не зависит.
Так как мы исследуем необходимое условие, то есть предполагаем, что свойство марковости для $(|X_n|)$ выполнено, то $$\forall C \mbox{-условие на } |X_0|, \ldots, |X_{n-1}| \,\,\, P\{|X_{n+1}|=1 \mid |X_n|=1, C\} = P\{|X_{n+1}|=1 \mid |X_n|=1\} $$

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 01:14 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Если $X_n=-1$, то $P(|X_{n+1}|=1)$ может отличаться от $P(|X_{n+1}|=1)$ если $X_n=1$, хотя в обоих случаях $|X_n|=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 01:54 


03/10/10
21
Да, это понятно, что зависит от знака $X_n$. Интуитивно, если я не ошибаюсь, вроде как вытекает для любых С - условий на $|X_0|, \ldots, |X_{n-1}|$
$$P(X_n=1 | C) = P(X_n=-1 | C).$$

Но даже если это так, то как показать это точнее на более аналитическом уровне, чем интуитивно.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 02:08 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Запишите так,
$$P(|X_{n+1}|=1 \ | \  |X_n|=1)=\left\{ \begin{array}{ll}
p_{-1,-1}+p_{-1,1}, & X_n=-1, \\
p_{1,1}+p_{1,-1}, & X_n=1.
\end{array} \right.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 08:35 


03/10/10
21
Вы фактически написали, что
$$ P(|X_{n+1}|=1 | X_n=1)=p_{1,1}+p_{1,-1} $$
$$ P(|X_{n+1}|=1 | X_n=-1)=p_{-1,1}+p_{-1,-1} $$


Ну ведь подобным образом для любых случайных величин можно расписать, например, как
$$P(X=a | Y \in B) =\left\{
\begin{array}{l}
P(X=a| Y=b_1), Y=b_1\\
\ldots\\
P(X=a| Y=b_n), Y=b_n
\end{array}
\right.$$
где $Y=\{b_1, \ldots, b_n\}$

Однако из этого мы ничего не можем сказать о вероятностях $Y=b_i.$ Не очень понятно, так почему же все же это будет необходимо?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 17:01 
Заслуженный участник


08/09/07
841
mfz в сообщении #358954 писал(а):
Вы фактически написали, что
$$ P(|X_{n+1}|=1 | X_n=1)=p_{1,1}+p_{1,-1} $$
$$ P(|X_{n+1}|=1 | X_n=-1)=p_{-1,1}+p_{-1,-1} $$
У Вас должно выполняться Марковское свойство, то есть $|X_{n+1}|$ должно зависеть только от $|X_n|$, а не от $X_n$. Как это сделать, видно из того, что я написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 18:42 


03/10/10
21
Да, это ясно. Но вот сейчас еще раз обдумал этот момент, и вот к какому логическому выводу пришел.
Опять, обозначим за С - некоторые условия на $|X_{n-1}|, \ldots, |X_0|$. ТОГДА, из того, что $P(|X_{n+1}|=0 | |X_n|=1 , C) = P(|X_{n+1}|=0 | |X_n|=1$ не зависит от $X_n$ вытекает, что при любых С величина $P(X_n=1 | |X_n|=1,  C)$ должна оставаться постоянной. В самом деле,
$$ P(|X_{n+1}|=0 | |X_n|=1 , C)= P(X_{n+1}=0 | X_n=1, C) P(X_n=1 | |X_n|=1,  C) + P(X_{n+1}=0 | X_n=-1, C) P(X_n=-1 | |X_n|=1,  C) =p_{10} P(X_n=-1 | |X_n|=1,  C) + p_{-10}P(X_n=-1 | |X_n|=1,  C)=P(X_n=1 | |X_n|=1,  C)(p_{10}-p_{-10}) +  p_{-10}$$
И оно не зависит от С либо когда $p_{10}=p_{-10}$, либо когда $P(X_n=1 | |X_n|=1,  C)=const$.
Так вот что делать со вторым условием? Как его дальше исследовать?


В Вашем рассуждении Вы, на сколько я понимаю, пытаетесь оперировать тем, что если из некоторых условий С мы получим, что $X_n=1,$ а из С', что $X_n=-1,$ то вероятность $|X_{n+1}|=1$ будет различной. Но почему обязательно найдутся такие условия? Ведь возможно, например, что из любой информации С мы будем всегда получать $P(X_n=1)=\pi_1, P(X_n=-1)=\pi_2, \mbox{ где } \pi_1, \pi_2 - const.$
Да и по определению марковского свойства $|X_{n+1}|$ не должно зависеть от $|X_j|, j<n$, а от $X_n$ оно вполне может зависеть. Другое дело, что при фиксированном $|X_n|=1$, может оказаться, что $X_n$ зависит от $|X_j|, j<n$. Если мы как раз покажем, что эта зависимость есть и она не фиктивна(!), то есть не выполняется равенство $P(X_n=1 | |X_n|=1,  C)=const$ или покажем, что из этого следует $p_{10}=p_{-10}$, то получим в качестве необходимого условия как раз только $p_{10}=p_{-10}$. Не показав же этого, пока из марковости последовательности $|X_n|$ имеем лишь, что верна дизъюнкция
$$(p_{10}=p_{-10}) \,\,\, || \,\,\, (P(X_n=1 | |X_n|=1,  C)=const)$$

Наверняка эта дизъюнкция является также и необходимым условием, но мне кажется, что условием задачи предполагалось нахождение условий именно на $p_{ij}.$
Еще раз обращаю Ваше внимание, что в условии требуется именно найти необходимые и достаточные условия. Сделанное мной предположение о $p_{10}=p_{-10}$ не обязано быть 100%-правильным.

Спасибо за понимание. Извиняюсь, если некоторые свои идеи, я высказал достаточно кривым языком.
Надеюсь на подробное объяснение непонятных мне моментов.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 19:04 
Заслуженный участник


08/09/07
841
У Вас дано, что $X_n$ это марковская цепь, то есть $X_{n+1}$ зависит только от $X_n$ (не зависит от $X_{n-k}, k=1,2,...$). Отсюда следует, что $f(X_{n+1})=|X_{n+1}|$ тоже зависит только от $X_n$. Вам чтобы сделать цепь $|X_{n+1}|$ марковской надо сделать зависимость не от $X_n$, а от $|X_{n}|$. Зачем доказывать, что $|X_{n+1}|$ не зависит от $|X_{n-k}|, k=1,2,...$ когда $X_{n+1}$ не зависит от $X_{n-k}, k=1,2,...$?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 19:28 


03/10/10
21
ммм... честно говоря не очень понятно, что Вы этим хотите показать.

Да и $X_{n+1}$ не зависит от $X_{n-k}, k=1,2,\ldots,$ если $X_n=i_n$ - фиксировано. У нас же мы имеем $|X_n|=1,$ значит $X_n$ не фиксировано, то есть $X_{n+1}$ может и зависеть от некоторых $X_{n-k}, k=1,2,\ldots,$, а значит и $|X_{n+1}|.$

Я, наверное, что-то не понимаю. Будьте добры, поясните, пожалуйста, чуть доходчивее еще раз всю цепь Ваших рассуждений.
И, если нетрудно, подскажите, как можно было бы продолжить мое решение, ведь рассуждения, показывающие, что из марковости последовательности с модулями будет следовать выполнение одного из двух условий, вроде как не вызывают сомнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 19:52 
Заслуженный участник


08/09/07
841
mfz в сообщении #359141 писал(а):
ммм... честно говоря не очень понятно, что Вы этим хотите показать.
У Вас "цепь" $|X_n|$ не является в общем случае марковской. Её надо такой сделать, наложив определённые ограничения на вероятности $p_{i,j}, i,j=1,2,3$ в цепи $X_n$. Для этого Вы рассматриваете вероятности $P(|X_{n+1}| \ | |X_n|)$ и смотрите, что мешает выполнению марковского свойства. В той формуле, которую я приводил, видно, что мешает зависимость от $X_n$. Что надо потребовать от вероятностей (в той формуле), чтобы когда Вам сказали, что $|X_n|=1$, Вам ненужно было знать $X_n$, чтобы сказать с какой вероятностью следующее состояние будет 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 20:37 


03/10/10
21
Насколько я понимаю, надо потребовать, чтоб $p_{-1,1}+p_{-1,-1}=p_{1,1}+p_{1,-1}$, или, что то же самое, $p_{-1,0}=p_{1,0}$. Верно?
Ну так это мы фактически показали достаточность этого условия.
А так как же быть с необходимостью? Ведь именно это место вызвало наибольшее затруднение. (я это уточнил в первом посте) Честно говорю, из Ваших рассуждений пока никак не могу уловить, что из того, что последовательность $(|X_n|)$ является марковской цепью, следует, что будет непременно выполнено $p_{-1,0}=p_{1,0}$.

Может, я что-то неправильно понимаю?

-- Пн окт 04, 2010 22:02:12 --

Или вы хотите воспользоваться тем, что в общем случае для двух марковских цепей $X_n$ и $Y_n$ вероятность $P(Y_{n+1} = i_{n+1} | Y_n=i_n)$ должна не зависеть от того, какие значения принимает $X_n$ ?
А почему это верно в общем случае (в частности, как в задаче, когда последовательности $X_n$ и $Y_n$ не являются независимыми)?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 21:29 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Попробуйте потребовать симметричности, то есть $p_{0,1}=p_{0,-1}$ и т.д., то есть нет разницы в каком состоянии -1 или 1 находится цепь и аналогично с 0, то есть $p_{0,1}=p_{0,-1}$. То есть у Вас цепь как $\{1,0,1\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача на марковские цепи (теор_вер)
Сообщение04.10.2010, 21:56 


03/10/10
21
Не очень понятен вообще предыдущий пост. К чему он относится.
Я повторюсь, что в исследовании необходимого условия я дошел до того, что марковость $|X_n|$ влечет
Цитата:
$$(p_{10}=p_{-10}) \,\,\, || \,\,\, (P(X_n=1 | |X_n|=1,  C)=const)$$

и как дальше быть не знаю.

Прокомментируйте, пожалуйста, этот момент. Потому если это верно(почему?), то необходимость условия $p_{10}=p_{-10}$ ясна.
Цитата:
Или вы хотите воспользоваться тем, что в общем случае для двух марковских цепей $X_n$ и $Y_n$ вероятность $P(Y_{n+1} = i_{n+1} | Y_n=i_n)$ должна не зависеть от того, какие значения принимает $X_n$ ?
А почему это верно в общем случае (в частности, как в задаче, когда последовательности $X_n$ и $Y_n$ не являются независимыми)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group