2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Новый" метод суммирования рядов?
Сообщение28.09.2010, 20:45 
Аватара пользователя


24/08/10
32
Идея может быть не нова, но все же хотелось бы поделится. Итак, начну!
Рассмотрим систему уравнений
$$ \left\{ \begin{array}{l} \,x_1+x_2 +...+x_{n+1} = 1,\\ \,k_1x_1+k_2x_2+...+k_{n+1}x_{n+1} = a,&............\\\,{k_1}^nx_1+{k_2}^nx_2+...+{k_{n+1}}^nx_{n+1}=a^n \end{array} \right. ,$$где $k_t$, $a$ - некоторые положительные действительные числа.
Использовав определители Вандермонда, выразим $x_i$ через $k_t$, $t$ пробегает от $1$ до $n+1$:
$$x_i={\prod\limits_{t=1}^{n+1}}{\,^'} \frac{k_t-a}{k_t-k_i} \, ,$$ штрих возле произведения означает, что $t\ne i$. Поэтому справедливо равенство $$\sum\limits_{t=1}^{n+1}{\prod\limits_{t=1}^{n+1}}{\,^'} \frac{k_t-a}{k_t-k_i}=a^p\,\,\,\,\,\,p\leqslant n \,.$$
Вслучае, когда $n\to\infty$, получим $$\sum\limits_{t=1}^{\infty}{\prod\limits_{t=1}^{\infty}}{\,^'} \frac{k_t-a}{k_t-k_i}=a^p\,,$$
но при этом ${\prod\limits_{t=1}^{n+1}}{\,^'} \frac{k_t-a}{k_t-k_i}\le\infty$ ($i\in\mathbb{N}$) при $n\to\infty$. После некоторых преобразований имеем $$\sum\limits_{t=1}^{\infty}\frac{{k_i}^p}{h_i(k_i-a)}=\frac{a^p}{\prod\limits_{t=1}^{\infty}(k_i-a)},\,\,\,\,\,\,\,p\in\mathbb{N}\cup\{0\},$$ где $h_i={\prod\limits_{t=1}^{\infty}}{\,^'} (k_t-k_i)$. Как следует непосредственно из формулы Тейлора $$\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)g(i)=\sum\limits_{t=0}^{\infty}\frac{f^{(t)}(0)}{t!}\sum\limits_{i=1}^{n}g(i)i^t\,\,.$$
Пусть $f(i)=t(k_i)$, $g(i)=\frac{h_i}{k_i-a}$. Тогда $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{t(k_i)}{h_i(k_i-a)}=\sum\limits_{v=0}^{\infty}\frac{t^{(v)}(0)}{v!}\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{{k_i}^k}{h_i(k_i-a)}=\frac{t(a)}{\prod\limits_{j=1}^{\infty}(k_j-a)}.$ Окончательный результат имеет вид $$\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{t(k_i)}{h_i(k_i-a)}=\frac{t(a)}{\prod\limits_{j=1}^{\infty}(k_j-a)}\,\, ,$$ при условии, что произведение $\prod\limits_{j=1}^{\infty}(k_j-a)$ и ряд в левой части равенства сходятся,$h_i={\prod\limits_{t=1}^{\infty}}{\,^'} (k_t-k_i)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Новый" метод суммирования рядов?
Сообщение28.09.2010, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
А ничего, что произведения $\prod_{j\neq i} (k_j-a)$ и $\prod_{j\neq i}(k_j-k_i)$ могут сходиться одновременно лишь в том случае, если $k_i=a$?

Очень даже чего, потому что такого быть не может, ведь $k_j-a$ обязано сходиться к $1$.

Проще говоря, вот это Ваше "если" никогда не имеет места. Формула интересна, но тот факт, что она верна лишь при $0\neq 0$, сильно ограничивает область ее возможных применений.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Новый" метод суммирования рядов?
Сообщение28.09.2010, 21:06 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980
 i  Отправляемся в "Пургаторий (М)".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group