"Новый" метод суммирования рядов?

[polyedr]

Идея может быть не нова, но все же хотелось бы поделится. Итак, начну!
Рассмотрим систему уравнений

$$ \left\{ \begin{array}{l} \,x_1+x_2 +...+x_{n+1} = 1,\\ \,k_1x_1+k_2x_2+...+k_{n+1}x_{n+1} = a,&............\\\,{k_1}^nx_1+{k_2}^nx_2+...+{k_{n+1}}^nx_{n+1}=a^n \end{array} \right. ,$$

где $k_t$, $a$ - некоторые положительные действительные числа.
Использовав определители Вандермонда, выразим $x_i$ через $k_t$, $t$ пробегает от $1$ до $n+1$:

$$x_i={\prod\limits_{t=1}^{n+1}}{\,^'} \frac{k_t-a}{k_t-k_i} \, ,$$

штрих возле произведения означает, что $t\ne i$. Поэтому справедливо равенство

$$\sum\limits_{t=1}^{n+1}{\prod\limits_{t=1}^{n+1}}{\,^'} \frac{k_t-a}{k_t-k_i}=a^p\,\,\,\,\,\,p\leqslant n \,.$$

Вслучае, когда $n\to\infty$, получим

$$\sum\limits_{t=1}^{\infty}{\prod\limits_{t=1}^{\infty}}{\,^'} \frac{k_t-a}{k_t-k_i}=a^p\,,$$

но при этом ${\prod\limits_{t=1}^{n+1}}{\,^'} \frac{k_t-a}{k_t-k_i}\le\infty$ ($i\in\mathbb{N}$) при $n\to\infty$. После некоторых преобразований имеем

$$\sum\limits_{t=1}^{\infty}\frac{{k_i}^p}{h_i(k_i-a)}=\frac{a^p}{\prod\limits_{t=1}^{\infty}(k_i-a)},\,\,\,\,\,\,\,p\in\mathbb{N}\cup\{0\},$$

где $h_i={\prod\limits_{t=1}^{\infty}}{\,^'} (k_t-k_i)$. Как следует непосредственно из формулы Тейлора

$$\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)g(i)=\sum\limits_{t=0}^{\infty}\frac{f^{(t)}(0)}{t!}\sum\limits_{i=1}^{n}g(i)i^t\,\,.$$

Пусть $f(i)=t(k_i)$, $g(i)=\frac{h_i}{k_i-a}$. Тогда $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{t(k_i)}{h_i(k_i-a)}=\sum\limits_{v=0}^{\infty}\frac{t^{(v)}(0)}{v!}\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{{k_i}^k}{h_i(k_i-a)}=\frac{t(a)}{\prod\limits_{j=1}^{\infty}(k_j-a)}.$ Окончательный результат имеет вид

$$\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{t(k_i)}{h_i(k_i-a)}=\frac{t(a)}{\prod\limits_{j=1}^{\infty}(k_j-a)}\,\, ,$$

при условии, что произведение $\prod\limits_{j=1}^{\infty}(k_j-a)$ и ряд в левой части равенства сходятся,$h_i={\prod\limits_{t=1}^{\infty}}{\,^'} (k_t-k_i)$.

[Хорхе]

А ничего, что произведения $\prod_{j\neq i} (k_j-a)$ и $\prod_{j\neq i}(k_j-k_i)$ могут сходиться одновременно лишь в том случае, если $k_i=a$?

Очень даже чего, потому что такого быть не может, ведь $k_j-a$ обязано сходиться к $1$.

Проще говоря, вот это Ваше "если" никогда не имеет места. Формула интересна, но тот факт, что она верна лишь при $0\neq 0$, сильно ограничивает область ее возможных применений.

[zhoraster]

Отправляемся в "Пургаторий (М)".