Найти общий вид по рекурсивной формуле.

[Nxx]

Дано:

$$A(0,x)=\left(\log \left(b^r\right)\right)^x$$

$$A(n,x)=\log (b) \sum _{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} A(-j+n-1,x) \sum _{k=0}^{x-1} A(j,k)$$

Найти общий, не рекурсивный, вид для A(n,x). Если это можно как-то записать в матричной/векторной форме - еще лучше.

[maxal]

Рассмотрите двумерную производящую функцию:

$$F(t,z) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{x=0}^{\infty} A(n,x) \frac{t^n}{n!} z^x$$

Преобразуйте данное рекуррентное соотношение к дифференциальному уравнению. Получится что-то типа:

$$\frac{\partial F(t,z)}{\partial t} = \log(b) \frac{z}{1-z} F(t,z)^2$$

с начальным условием

$$F(0,z) = \frac{1}{1-z\log(b^r)}.$$

Проверьте.

Ну дальше решаете этот диффур, разлагаете решение в ряд и извлекаете коэффициенты $A(n,x)$.

[Nxx]

Сейчас немного упростил выражение, привел его примерно вот к такому виду:

$$S(x,0)=1$$

$$S(x,n)=\sum _{k=x}^{2 x-1} S(k,n-1)$$

Что можно тут сказать?

-- Чт сен 23, 2010 22:29:24 --

Цитата:

Ну дальше решаете этот диффур, разлагаете решение в ряд и извлекаете коэффициенты

Так эти коэффициенты (несколько первых) получить нетрудно. Проблема - найти общий вид.

[maxal]

Nxx в сообщении #355605 писал(а):

Цитата:

Ну дальше решаете этот диффур, разлагаете решение в ряд и извлекаете коэффициенты

Так эти коэффициенты (несколько первых) получить нетрудно. Проблема - найти общий вид.

Ну так этот подход и даст вам общий вид коэффициентов.

[Nxx]

А как свести к дифуру упрощенный вариант (с функцией S)?

[maxal]

Nxx в сообщении #355605 писал(а):

$$S(x,0)=1$$

$$S(x,n)=\sum _{k=x}^{2 x-1} S(k,n-1)$$

Вот она в OEIS: A125860

[Nxx]

Вау! Спасибо! Но там опять же, дается только рекурсивная формула....

[Nxx]

Попробовал по первому совету через диффур.

Плясал вот от этого:

$$A(0,x)=1$$

$$A(n,x)=\sum _{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} A(-j+n-1,x) \sum _{k=0}^{x-1} A(j,k)$$

Далее не знаю, как вы нашли функцию F, но по аналогии взял такое:

$$\frac{\partial F(t,z)}{\partial t} = \frac{z}{1-z} F(t,z)^2$$

и начальное условие

$$F(0,z) = \frac{1}{1-z}.$$

Решил, получилось

$$\frac{1-z}{1-2 z-t z+z^2}$$

Разложил в ряд, но коэффициенты получились совсем другие.

$$ 1, x/2 + x^2/2, -(x/ 6) - x^2/12 + x^3/6 + x^4/12, x/10 + x^2/30 - x^3/8 - x^4/24 + x^5/40 + x^6/120$$

По рекурсивной формуле получается:

$$1, x, -(x/2) + (3 x^2)/2, x/2 - 2 x^2 + (5 x^3)/2, -((7 x)/12) + ( 25 x^2)/8 - (71 x^3)/12 + (35 x^4)/8$$

[maxal]

Nxx
Я ошибся, там получается не диффур, а функциональное уравнение, которое непонятно как решать.

[Nxx]

Эта зависимость очень похожа на формулу для степени бинома или на производную произведения (правило Лейбница), особенно, если записать ее так:

$$A(n,x)= \sum _{k=0}^{x-1} \left(\sum _{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} A(-j+n-1,x) A(j,k)\right)$$

Выражение в скобках получается прямо копией баномиальной формулы для степени бинома (x+k)^(n-1) или n-1-й производной произведления, если возведение в степень(или производную) заменить на операцию A.

Неужели нет какой-то матричной или другой общей формулы для таких форм?