2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 сходимость почти всюду
Сообщение17.09.2010, 11:59 


20/04/09
1067
Доказать, что из последовательности $\{\sin nx\},\quad n\in\mathbb{N}$ нельзя извлечь подпоследовательность сходящуюся почти всюду.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость почти всюду
Сообщение17.09.2010, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Если сходится почти всюду на $[a,b]$, то сходится сильно, а потому и слабо, в $L^2[a,b]$, а потому к нулю. Но сильно к нулю сходиться эта последовательность, очевидно, не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость почти всюду
Сообщение17.09.2010, 12:09 


20/04/09
1067
Именно так. В связи с этим любопытно отметить, что в теме topic36397.html
Padawan и RIP заметили ,что 0 является предельной точкой этой последовательности в топологии поточечной сходимости. Это пример того, что вообще говоря, в топологическом пространстве к предельной точке множества нельзя дотянуться с помощью последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость почти всюду
Сообщение17.09.2010, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Если в пространстве выполнена I аксиома счетности, то до любой предельной точки множества можно "дотянуться" последовательностью

 Профиль  
                  
 
 Re: сходимость почти всюду
Сообщение17.09.2010, 12:28 


20/04/09
1067
Конечно. Просто обычно такие примеры пространств без первой аксиомы и чтоб последовательности ведущей к предельной точке не существовало весьма экзотичны. А тут все очень естественно: стандартные объекты анализа.

А вот еще задача: в исходном примере построить направленность принадлежащую последовательности и ведущую к предельной точке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group