Circle and lines

[ins-]

It is given a circle k(O) and a point P outside the circle. Tangents from P touch k at the points A and B. It is drawn a line l from P that intersects k at the points C and D (in this order). From B is drawn a line m parallel to l. m intersects k at the point E. If Q is the intersection point of AE and CD - prove that Q is the middle of the segment CD.

[gris]

(Оффтоп)

try(10000){eval(max(abs(diff(DQ,QC)))) for config{main: circ(0:O; random);P(random);intercept(tangent(P,main),main):{A,B);intercept(line(P;random),main):{C,D};intercept(parallel(B,CD),main):E;intercept(line(CD),line(EA):Q};picture(config.last,gif(500,400,72,transparent))}

*** answer:0
Да, получается делит пополам.E

[ins-]

[Sasha2]

А если поподробней.
Пока не видно решения.

[sergey1]

Точки $A,B,P,O$ лежат на окружности с диаметром $OP$. Т.к $\angle AQP=\angle AEB=\angle ABP$, то точка $Q$ лежит на той же окружности, поэтому $\angle OQP$ прямой, значит, $Q$ - середина $CD$.

[ins-]

Thank you for the short and elegant solution.
I like to share interesting statements I (re)discover.
My questions are almost all the times:

1. Do you like this problem?
2. What is its level of difficulty?
3. Is it statement discovered by me or it is well known problem?

I also believe more solutions are possible (maybe involving trigonometry and similarities).

[gris]

Задача интересная. Quite nice.
Я представил точку $P'$ на прямой $l$, симметричную $P$ относительно ясно чего. Такое же построение с другой стороны. Появятся еще точки. Некоторые совпадут, в том числе $Q$=$Q'$ .
Вначале у меня была идея с равнобокой трапецией. Но там решение более длинное.
Задачу раньше не видел.

[ins-]

Do you take in mind this idea:
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=10&t=3088

When I'm sad I'm discovering such statements. I wouldn't like to discover more statements

[Sasha2]

И все таки непонятно, почему из равенство указанных углов следует, что точка Q лежит на этой же окружности.

[sergey1]

Отрезок $AP$ из точек $Q$ и $B$ виден под одинаковыми углами.

[Sasha2]

Да теперь все встало на свои места.
Красиво однако и задача и решение.
Спасибо sergey1.

[ins-]

Thank you very much guys for the time spent on this problem. I just want to note the solution on Bulgarian forum is 12-th grade pupil with (he pretend) not very well knowledge on geometry.
(sorry for my bad English)

[gris]

Мне тоже понравилось решение sergey1 с окружностью. Я добавил в чертёж немного линий, чтобы оно было яснее видно.

[ins-]

There is also a discussion opened in mathlinks.ro
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=366125

[ins-]

http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=10&t=3088
This solution is wrong, the only correct solution is sergey1's one.