2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 14:19 


17/08/10

132
Израиль
По окружности расставлено 1994 точки, покрашенные в 10 цветов. Известно, что среди любых 100 подряд идущих точек встречаются точки всех цветов. Докажите, что среди каких-то 90 подряд идущих точек тоже встретятся точки всех цветов.

Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада 1994 года. Отборочный тур. 11 класс

Предположим противное. Среди любых 90 подряд идущих точек встречаются не более 9 различных цветов. Теперь предположим, что среди некоторых 10 подряд идущих точек (без ограничения общности с 101 по 110) встречается хотя бы 2 различных цвета. Тогда среди точек 101-120 будет не менее 3 различных цветов, так как среди точек 21-120 должны быть все цвета, а среди 21-110 - не все. Аналогично, среди 101-130 будет не менее 4 цветов, ..., среди 101-190 - не менее 10 цветов, то бишь все. Значит, среди любых 10 подряд идущих точек все одного цвета. Но тогда и вообще все 1994 точки - одного цвета. Противоречие.

Жду Ваших замечаний, как соловей - лета!

*Кстати, если среди Вас есть евреи, С Новым Годом! Шана Това!

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:03 


17/08/10

132
Израиль
Я чем-то кого-то обидел?
Почему никто не хочет мне отвечать?
:-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
У Вас число 1984 нигде не используется в решении. Как-то странно.
Ой, то есть 1994.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:18 


17/08/10

132
Израиль
gris в сообщении #350583 писал(а):
У Вас число 1984 нигде не используется в решении. Как-то странно.

Вот и я об этом подумал. Значит, где-то ошибся. С другой стороны, на олимпиадах часто предлагают задачи, в которых фигурирует номер года проведения олимпиады, и не всегда решение связано именно с этим конкретным числом (иногда нужно доказать какое-нибудь утверждение для любого числа, большего, скажем, пяти, и тогда в условии пишут номер года (просто в дань традиции)).
Кстати, там не 1984, а на 10 больше :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я покрасил первые 11 точек в первый цвет.
Вторые 11 точек - во второй.
И так далее.
Достигнув 110 (вариант: 220, 330...), замкнул в кольцо.
И что?
Это доказывает, что не "для любого".

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:25 


17/08/10

132
Израиль
ИСН в сообщении #350585 писал(а):
Я покрасил первые 11 точек в первый цвет.
Вторые 11 точек - во второй.
И так далее.
Достигнув 110 (вариант: 220, 330...), замкнул в кольцо.
И что?
Это доказывает, что не "для любого".

Вы доказали только частный случай.
При Вашей конкретной раскраске утверждение верно. А как насчёт других раскрасок?

А, простите, неправильно понял...

Честно говоря, теперь уже совсем не понимаю... А Вы уверены в том, что условие задачи Вам понятно?
Можете пояснить, что означает "Это доказывает, что не "для любого""?

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение08.09.2010, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Сорри, мой контрпример - хреновый. Проехали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение09.09.2010, 05:03 


21/06/06
1721
Без ограничения общности полагаем, что точки равномерно распределены по данной окружности.
Берем эту окружность и делим ее на углы, величина которых равна углу, вмешающему 100 точек.
Поворачиваем на половину этого угла и совмещаем. Отсается убедиться в том, что теперь окружность разбивается на углы, каждый из которых вмещает менее 90 точек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Точки на окружности (помогите найти ошибки в решении)
Сообщение09.09.2010, 09:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск

(Оффтоп)

Дуга длиной 90 точек может занимать 1994 положения, которые получаются друг из друга сдвигом дуги на одну точку по часовой стрелке. Предположим, что в любом положении отсутствует хотя бы один цвет. По крайней мере в 90 подряд идущих положениях синяя тока присутствует, затем она отсутствует самое большее в 10 подряд идущих положениях. Таким образом, синяя точка (как и другие цвета) отсутствует не более 199 раз. Кто же тогда отсутствует в 4 оставшихся случаях?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group