2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Линейные пространства. Вектор, не лежащий в n подпростран...
Сообщение27.09.2006, 09:19 


18/02/06
37
мех-мат МГУ
В ходе одного исследования возникла следующая проблема.
Пусть есть линейное пространство L (бесконечномерное; например, кольцо многочленов с рациональными коэффициентами от многих переменных) над полем рациональных чисел. Даны A_1, ..., A_n - некоторые подпространства L и вектора v_1, ..., v_n такие, что v_i \notin A_i, \, i=1, \ldots, n. Требуется построить вектор v, являющийся линейной комбинацией векторов v_i с целыми коэффициентами, и не лежащий ни в одном из подпространств A_i.
Такой вектор построить можно. Пусть v = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n - одна из комбинаций, удовлетворяющих условию. Проблема в том, чтобы оценить величину коэффициентов в этой линейной комбинации. Например, верно ли, что можно построить комбинацию, коэффициенты которой только нули и единицы?

P.S. Я умею строить линейную комбинацию, для которой коэффициенты неотрицательны и не превосходят n.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.09.2006, 09:28 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Да можно, легко доказывается по индукции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.09.2006, 13:22 


18/02/06
37
мех-мат МГУ
Руст писал(а):
Да можно, легко доказывается по индукции.


доказательство в студию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.09.2006, 15:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть это верно при n<N (первый шаг очевиден). Если найдется соответствующая комбинация векторов сумма которых не принадлежит и последнему подпространству, то доказывать ничего. Иначе рассматривать это с векторами $w_k=v_k, k\not =j, w_j=v_j+v_N, v_N\in A_j$ при разных j. Найдём сумму из некоторых таких векторов, не принадлежащий не одному из подпространств. Тогда он удовлетворяет этому свойству.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.09.2006, 18:40 


18/02/06
37
мех-мат МГУ
Руст писал(а):
Пусть это верно при n<N (первый шаг очевиден). Если найдется соответствующая комбинация векторов сумма которых не принадлежит и последнему подпространству, то доказывать ничего. Иначе рассматривать это с векторами $w_k=v_k, k\not =j, w_j=v_j+v_N, v_N\in A_j$ при разных j. Найдём сумму из некоторых таких векторов, не принадлежащий не одному из подпространств. Тогда он удовлетворяет этому свойству.

Можно найти линейную комбинацию w_k, не лежащую в первых N-1 подпространствах. Почему она не лежит в A_N? И разве коэффициент при v_n получится либо ноль, либо 1?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.09.2006, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Линейной комбинации с коэффициентами из $\{0,1\}$ может и не найтись. Расмотрим в $\mathbb R^3$ три подпространства $A_1=\{(a,a,b)\colon a,b\in\mathbb R\}$, $A_2=\{(b,a,a)\colon a,b\in\mathbb R\}$ и $A_3=\{(a,b,a)\colon a,b\in\mathbb R\}$. Пусть $v_1=(1,0,0)$, $v_2=(0,1,0)$ и $v_3=(0,0,1)$. Ясно, что $v_i\notin A_i$. С другой стороны, любая из восьми линейных комбинаций с коэффициентами из $\{0,1\}$ лежит в объединении $A_1\cup A_2\cup A_3$.

Отмечу, что не лежащая в объединении линейная комбинация с целыми коэффициентами найдется всегда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group