2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пара задач про многочлены
Сообщение19.11.2005, 01:11 
1. Доказать, что многочлен степени < n, принимающий целые значения при n последовательных
значениях переменной, принимает целые значения при всех целых значениях переменной.

2. Доказать, что если многочлен с целыми коэффицентами приводим над полем рациональных
чисел, то он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми
коэффицентами.

  
                  
 
 Re: Пара задач про многочлены
Сообщение21.11.2005, 19:54 
Anonymous писал(а):
1. Доказать, что многочлен степени < n, принимающий целые значения при n последовательных
значениях переменной, принимает целые значения при всех целых значениях переменной.

2. Доказать, что если многочлен с целыми коэффицентами приводим над полем рациональных
чисел, то он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми
коэффицентами.


1. Знаючи n значень многочлена, використовуючи інтерполяційну формулу Лагранжа, можна показати що всі його коєфіцієнти є цілими числами. Звідси і випливає що він приймає тільки цілі значення.

2. Сумніваюсь.

1. Зная n значений многочлена, можно использовать интерполяционную формулу Лагранжа и показать, что все его коэффициенты - целые числа. Отсюда следует, что он принимает только целые значения.
2. Сомневаюсь.
Перевел Dan_Te

  
                  
 
 Re: Пара задач про многочлены
Сообщение22.11.2005, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14995
Новомосковск
leox_ писал(а):
Anonymous писал(а):
1. Доказать, что многочлен степени < n, принимающий целые значения при n последовательных
значениях переменной, принимает целые значения при всех целых значениях переменной.

2. Доказать, что если многочлен с целыми коэффицентами приводим над полем рациональных
чисел, то он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми
коэффицентами.


1. Знаючи n значень многочлена, використовуючи інтерполяційну формулу Лагранжа, можна показати що всі його коєфіцієнти є цілими числами. Звідси і випливає що він приймає тільки цілі значення.


Пусть многочлен $P(x)$ степени $s<3$ принимает целые значения при $x=0$, $x=1$, $x=2$. Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа для него имеет вид $P(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{2}P(0)-x(x-2)P(1)+\frac{x(x-1)}{2}P(2)$. Не видно, почему бы его коэффициенты были целыми числами. Особенно если учесть, что и у $P(x)$ коэффициенты не обязаны быть целыми. Например, $P(x)=\frac{x(x+1)}{2}$.

Предположим, что многочлен $P(x)$ степени $s<n$ принимает целые значения при $x\in\{m,m+1,m+2,\dots,m+n-1\}$, где $m$ - целое. Определим многочлены $P_k(x)$, $k\in\{0,1,2,\dots,n\}$, полагая $P_0(x)=P(x)$ и $P_k(x)=P_{k-1}(x+1)-P_{k-1}(x)$ при $0<k\leqslant n$.

Легко проверить непосредственным последовательным вычислением, что степень многочлена $P_k(x)$ равна $\max\{s-k,0\}$, где, напомню, $s$ - степень многочлена $P(x)=P_0(x)$ (считаем, что степень многочлена, тождественно равного 0, равна 0; иногда её считают равной -1 или $-\infty$). Поскольку $s<n$, то многочлен $P_{n-1}(x)$ заведомо имеет нулевую степень, то есть, является постоянным, а $P_n(x)$ принимает только нулевые значения.

Из определения многочленов $P_k(x)$ следует, что $P_k(x)$ принимает целые значения при $x\in\{m,m+1,\dots,m+n-k-1\}$.

Теперь из сказанного следует, что $P_{n-1}(x)=P_{n-1}(m)$ принимает только целые значения. Опираясь на это, получаем, что и все значения $P_{n-2}(x)$ целые: $P_{n-2}(m+1)$ - целое, и $P_{n-2}(x+1)=P_{n-2}(x)+P_{n-1}(x)$. Аналогично последовательно получаем целочисленность $P_{n-3}(x),\dots,P_0(x)$ при целых $x$. Детали додумайте сами.

leox_ писал(а):
2. Сумніваюсь.


М.М.Постников, Введение в теорию алгебраических чисел, Москва, "Наука", 1982.
Параграф 5, Следствие. Если многочлен $H(x)$ с целыми коэффициентами приводим над полем $\mathbb Q$, то существуют такие многочлены $F(x)$ и $G(x)$ положительных степеней с целыми коэффициентами, что $H(x)=F(x)G(x)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2005, 04:37 
Утверждение №2 часто называют леммой Гауса. Попробуйте поискать по такому названию.
Доказывается она достаточно просто:
Пусть многочлены над рациональными числами $P(x) = 1/N_P P_i(x), \ \ Q(x)=1/N_Q Q_i(x)$ где $N_P,\  N_Q$ найменьшие общие катные для знаменателей всех коэффициентов. Тогда если ${1/{N_PN_Q} P_iQ_i(x)$ имеет целые коэффициенты, то и все коэффициенты у многочленов $1/{N_Q} P_i(x),\ 1/{N_P} Q_i(x)$ целые.

Для этого доказывается простая лемма:
Для просто числа $p$ и $P(x), Q(x)\in {\mathds Z}[x]$ если $1/p P(x)$ или $1/p Q(x)$ имеет нецелые коэффициенты, то и $1/p PQ(x)$ тоже будет иметь нецелые коэффициенты.

  
                  
 
 
Сообщение22.11.2005, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
2 Гость , я ответил на Иродове
2 Evgeni_1003 Да. Ето действительно так

Цитата:
Для этого доказывается простая лемма:
Для просто числа и если или имеет нецелые коэффициенты, то и тоже будет иметь нецелые коэффициенты.


Я использовал так сказать дуальную лемму:Если $f(x)$ - примитивный полином, $r \in {\mathds Q}$ a коеффициенты $rf(x) \in {\mathds Z}[x]$, то $r$ - целое

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group