2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение29.06.2010, 22:06 
Заслуженный участник


14/01/07
787
В точке $x=5$ она равна $9.56$

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение30.06.2010, 07:22 


21/06/06
1721
Понятно, спасибо, значит и таким образом не получается.
А вот еще тоже хотелось узнать, вот есть ли какая-нибудь литература по такому вот вопросу:

Например, мы пишем $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$, а вот насколько конкретно больше, то есть имеются ли какие-либо удобно используемые оценки того насколько среднее арифметическое больше среднего геометрического (ну это в данном примере).

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение30.06.2010, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну как. Вот здесь (показывает пальцем) достигается равенство. Теперь придумайте меру удаления от этой точки, и в зависимости от неё...

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение30.06.2010, 11:27 


21/06/06
1721
Да нет, Вы знаете уважаемый ИСН, тут хотелось бы просто хотя бы на первых порах получить качественный ответ, почему некоторые неравенства доказываются влет, а некоторые (ну вот как это) с огромным скрипом. Где тот зазор, который в первом случае велик, а во втором очень мал. Можно ли его как-то характеризовать? Или как вот у тех, кто решает эти неравенство профессионально, количественно выражать то, что они говорят, что вот это неравенство более шарпное (sharper) чем то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение01.07.2010, 18:01 
Аватара пользователя


25/03/08
241
Sasha2 в сообщении #336333 писал(а):
Например, мы пишем $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$, а вот насколько конкретно больше, то есть имеются ли какие-либо удобно используемые оценки того насколько среднее арифметическое больше среднего геометрического (ну это в данном примере).

Sasha2 в сообщении #336373 писал(а):
Да нет, Вы знаете уважаемый ИСН, тут хотелось бы просто хотя бы на первых порах получить качественный ответ, почему некоторые неравенства доказываются влет, а некоторые (ну вот как это) с огромным скрипом. Где тот зазор, который в первом случае велик, а во втором очень мал. Можно ли его как-то характеризовать? Или как вот у тех, кто решает эти неравенство профессионально, количественно выражать то, что они говорят, что вот это неравенство более шарпное (sharper) чем то.

Это оно то доказывается с огромным скрипом? Смотрите: при $x,y,z\ge 0$:
$$
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=\frac{x+y+z}{2}((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)\ge 0
$$
$$
x^3+y^3+z^3\ge 3xyz
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение01.07.2010, 18:31 


21/06/06
1721
Вы просто не в теме.
Соизвольте уж тогда все посты до этого перечитать, уважаемый Nilenbert.
Ну, конечно, я не это неравенство имел в виду, а предыдущее от уважаемого Аркадия.
Попробуйте его с такой же легкостью доказать и тогда мы снимем перед Вами шляпу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.07.2010, 00:03 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #336333 писал(а):

Например, мы пишем $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$, а вот насколько конкретно больше,

Всегда можно усилить. Например, так:
Для неотрицательных $a,$ $b$ и $c$ докажите, что
$$\frac{a+b+c}{3}- \sqrt[3]{abc}\geq1.5\left(\sqrt[6]a-\sqrt[6]b\right)^2\left(\sqrt[6]a-\sqrt[6]c\right)^2\left(\sqrt[6]b-\sqrt[6]c\right)^2$$
А вот такая радость
$$\frac{a^6+b^6+c^6}{3}-a^2b^2c^2\geq\frac{1}{6}(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2$$
верна уже для всех действительных $a,$ $b$ и $c.$
(равенство достигается ещё, например, когда $a=-b$ и $c=0$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение04.07.2010, 00:25 


21/06/06
1721
Интересно, а это уважаемый Аркадий Вы утверждаете, что вообщем можно любое неравенство усилить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.07.2010, 00:35 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #337136 писал(а):
Интересно, а это уважаемый Аркадий Вы утверждаете, что вообщем можно любое неравенство усилить?

Конечно можно, если оно может быть когда-нибудь строгим.
Ведь если $a>b$, то $a>\frac{a+b}{2}>b$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение04.07.2010, 00:40 


21/06/06
1721
А вот еще тоже такой вопрос.
Верно ли, что если у нас имеется некоторое верное неравенство, то тогда существует такая запись этого неравенства в форме AM-GM (Чебышев, Гельдер, КОши-Шварц и так далее), только мы ее не можем найти.
( Несколько глобальнее, можно ли утверждать, что всякое верное неравенство есть следствие всякого другого верного неравенства?)

И еще Ваше утверждение насчет усиления. Вы так и неравенство Бернулли (классическое) $(1+x)^{\alpha} \le 1+\alpha x, (0<\alpha<1, x \ge-1)$ можете усилить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.07.2010, 00:58 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #337139 писал(а):
А вот еще тоже такой вопрос.
Верно ли, что если у нас имеется некоторое верное неравенство, то тогда существует такая запись этого неравенства в форме AM-GM (Чебышев, Гельдер, КОши-Шварц и так далее), только мы ее не можем найти.

Попытайтесь точно сформулировать, что Вы хотите сказать. :wink:

Sasha2 в сообщении #337139 писал(а):
( Несколько глобальнее, можно ли утверждать, что всякое верное неравенство есть следствие всякого другого верного неравенства?)

Как истинность импликации, то, конечно, да! В смысле же транзитивности отношения больше, то, опять же, нужна точная формулировка того, что Вы хотите.
Позвольте спросить, зачем Вам вся эта философия? Мне лично больше импонирует доказывать неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение04.07.2010, 01:10 


21/06/06
1721
Мне тоже. Но я не могу понять, чего мне не хватает.
Может быть нужна алгебраическая подготовка (университетския уровень) или доказательство этих неравенств (я Ваши неравенства (а они весьма и весьма трудные) так и называю неравенства от Аркадия) требует огромного опыта.
Создается впечатление, что никаких общих методов нет, можно только примерять классические неравенства, пытаясь угадать в предложенном для доказательства неравенства то или иное классическое неравенство. Вот и хочется узнать всегда ли такой путь (хотя бы в принципе) может приводить к успеху, или это сплошное казино - повезет не повезет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.07.2010, 02:46 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #337142 писал(а):
Мне тоже.
Создается впечатление, что никаких общих методов нет...

Правильное впечатление!
Sasha2 в http://dxdy.ru/post337142.html#p337142 писал(а):
... или это сплошное казино - повезет не повезет?

Именно так оно и есть. Как в жизни: попал в струю - победил! Вопрос же, как это на самом деле произошло, как правило остаётся открытым (я не имею здесь в виду иллюзию "закономерности" победы, когда постфактум все мы очень умны).
Для примитивных неравенств, понятно, есть методы (типа метода Лагранжа для условных неравенств).
С каждым новым методом, примитивизирующем целую группу неравенств, воникают новые неравенства, которые этим методом уже не доказываются и надо искать что-то новое и т.д.
Вам совет. Возьмите какой-то метод и освойте его.
Например, SOS. Лично у меня есть иллюзия, что любое неравенство, которое с помощью этого метода можно было бы доказать, удастся доказать и мне. А у Вас есть такая иллюзия?
Потом берёте следующий метод... и т.д.
Эти "методы", вообще говоря, ничего не доказывают, но Вы приобретёте опыт а там, глядишь, и изобретёте что-то новое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Забавное неравенство
Сообщение12.07.2010, 06:03 


21/06/06
1721
А так правильно или нет?

$\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{24\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}} \ge 11 \Leftrightarrow \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{{24\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}} \ge 11\]$
Складывая эти два неравенства, а также заменяя среднее геометрическое в числителе последней дроби на среднее гармоническое, получаем такое эквивалентное неравенство:
$\[\frac{{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2}}}{{abc}} + \frac{{144abc}}{{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2} + 3abc}} \ge 22\]$

Обозначив, через $x$ выражение $\[{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2}}\]$, получаем такую функцию $\[\frac{x}{{abc}} + \frac{{144abc}}{{x - 3abc}}\]$, с которой легко расправляемся на предмет поиска минимума. То есть легко находим и точку минимума и сам этот минимум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.07.2010, 09:50 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sasha2 в сообщении #338661 писал(а):
А так правильно или нет?

$\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{24\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}} \ge 11 \Leftrightarrow \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{{24\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}} \ge 11\]$

Это, конечно, верно. Но пока они не доказаны, Ваша эквиваленция означает только, что они оба верны или оба неверны. Складывая же два неверных неравенства можно легко получить верное, что, может быть, Вы и сделали.
Например, $1+x\geq1$ и $1-x\geq1$ неверны, а после сложения получаем верное неравенство.
Кстати сказать, следующее более простое неравенство верно.
Пусть $a,$ $b$ и $c$ положительны. Докажите, что
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}+\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}+\frac{51\sqrt[3]{abc}}{a + b + c}\geq23$$
a $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}+\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}+\frac{54\sqrt[3]{abc}}{a + b + c}\geq24$ уже неверно.
И ещё кстати. Ваше неравенство
Sasha2 в сообщении #338661 писал(а):
$\[\frac{{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2}}}{{abc}} + \frac{{144abc}}{{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2} + 3abc}} \ge 22\]$

неверно. Проверьте $a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 = 12abc$ :wink:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group