2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение07.06.2010, 11:39 


12/04/09
15
$ \textbf{Бесконечный спуск}$

Для любого целого $ n > 2 $
сумма $x^{n} + y^{n},$ где $x$ и
$y$ - натуральные числа, не равна
$z^{n},$ где $z$ натуральное число.
Положим, без ограничения общности дальнейших рассуждений, что
$x > y, x = u + y, $ где $u$ -
натуральное число. Тогда сумма $x^{n} + y^{n},$
запишется в виде $ (u + y)^{n} + y^{n} = u^{n} + nu^{n -
1}y + [n(n - 1)/2]u^{n - 2}y^{2} + \ldots + nuy^{n - 1} + 2y^{n} =
y^{n}( u^{n}/y^{n} + nu^{n - 1}/y^{n - 1} + [n(n - 1)/2]u^{n -
2}/y^{n - 2} + \ldots + nu/y + 2). $ Обозначим $ w
= u/y. $ Тогда $$ x^{n} + y^{n} = (u + y)^{n} + y^{n} = y^{n}(w^{n} + nw^{n - 1} +
[n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2) \ne z^{n}. $$ Это
утверждение доказывается от противного. Предположим, что многочлен
$ y^{n}F(w) = y^{n}(w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n -
2} + \ldots + nw + 2) = z^{n} $,$ F(w) = w^{n} +
nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2 = z^{n}/y^{n}
= \alpha^{n} $ где $ \alpha - $ рациональное положительное число. $ F(w) \ge 2 $ для $ w \ge 0 $. Необходимо найти рациональное
$ w = w_{0} $, при котором $ F(w) = F(w_{0})
= \alpha^{n} $. Согласно теоремы Бюдана-Фурье и следствия
из него правила (теоремы) Декарта многочлен $ F_{\alpha}(w)
= w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2 -
\alpha^{n} $ имеет только один и притом строго
положительный корень, так как $ F_{\alpha}(w) $
имеет всего лишь одну перемену знаков в системе своих
коэффициентов [1]. Свободный член $ 2 - \alpha^{n} < 0,
\alpha
> \sqrt[n]{2} > 1 $. Подставив, в $ F_{\alpha}(w) = (w + 1)^{n} + 1 - \alpha^{n} $ значение $ w = \alpha - 1 $, получим $$ F_{\alpha}(\alpha - 1) = \alpha^{n} + 1 - \alpha^{n} = 1 > 0. $$ Затем, подставив, в $ F_{\alpha}(w) $
значение $ w = \alpha - 2 $ получим $$
F_{\alpha}(\alpha - 2) = (\alpha - 1)^{n} + 1 - \alpha^{n}.
$$ Так как $ \alpha > \sqrt[n]{2} > 1 $, то можно записать $ \alpha = 1 + \delta $, где $ \delta > 0. $ Тогда $$
F_{\alpha}(\alpha - 2) = \delta^{n} + 1 - (\delta + 1)^{n} < 0 $$.
Значит единственный положительный корень $ w_{0} $ многочлена $
F_{\alpha}(w) $, $ \alpha - 2 < w_{0} < \alpha - 1
$ не является целым числом и равен $ w_{0} = \alpha
- 1 - \epsilon $, где $ 0 < \epsilon < 1 $
и $ \epsilon $ - рационально. Подставив $
w_{0} = \alpha - 1 - \epsilon $ в $ F_{\alpha}(w) =
(w + 1)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $, получим $
F_{\alpha}(w) = F_{\alpha}(w_{0}) = (\alpha - \epsilon)^{n} + 1 -
\alpha^{n} = 0 $. Представив $ \alpha $ в
виде $ \alpha = \beta * \epsilon $, где
рациональная величина $ \beta > 1 $, и подставив в
уравнение $ F_{\alpha}(w) = F_{\alpha}(w_{0}) = (\alpha -
\epsilon)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $, получим уравнение
$ \beta^{n} - (\beta - 1)^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $. Собственно говоря, уравнение для бесконечного спуска
получено. Можно переписать это уравнение в виде $ (\beta +
1)^{n} - \beta^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $, т.е. замена
(сдвиг) $ \beta $ на $ \beta + 1 $
или в более симметричном виде $$ (\beta + \frac{1}{2})^{n}
- (\beta - \frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} ~~~~~~(*),$$ т.е. замена (сдвиг) $ \beta $ на $
\beta + \frac{1}{2}. $

$\textbf{Доказательство для n =3.}$

Рассмотрим уравнение (*) при $ n = 3 $. $$
(\beta + \frac{1}{2})^{3} - (\beta - \frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{\epsilon^{3}}
~~~~~~(**)$$ После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем
$$ 3\beta^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{\epsilon^{3}}  ~~~~~~(***)$$
Обозначим $ \frac{1}{\epsilon} =  \omega $. Далее, обозначим левую часть
(***) через $ L $, т.е. $ L = L(\beta) = 3\beta^{2} + \frac{1}{4}
$, а правую часть (***) через $ R $, т.е. $ R = R(\omega)
= \omega ^{3} $. Функция $ L = L(\beta) = 3\beta^{2} + \frac{1}{4} $ есть парабола второго порядка, две ветви которой располагаются симметрично
относительно оси ординат, $ min(L) = L(\beta_{0}) = L(0) = \frac{1}{4} $
и все значения этой функции лежат в верхней полуплоскости, а функция $ R =
R(\omega) = \omega ^{3} $ кубическая парабола. Ясно, что кривые ( графики
функций $ L $ и $ R $ ) на одной и той же плоскости
декартовых координат, где вдоль оси абсцисс одновременно изменяются аргументы $
\beta $ и $ \omega $, а вдоль оси ординат отмечаются значения
функций $ L $ и $ R $, пересекаются только в одной точке в
первом квадранте (т.е. значения функций $ L $ и $ R $ в
этой точке пересечения равны, $ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} =
R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0}  $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} =
\omega_{0} $). В точке пересечения уравнение (***) можно записать в следующем
виде:$$ \omega_{0}^{3} - 3\omega_{0}^{2} - \frac{1}{4} = 0  ~~~~~~~~ (i) $$ Сделав в (i) замену $ \omega_{0} = \gamma + 1 $, получим
уравнение $$ \gamma^{3} - 3\gamma - \frac{9}{4} = 0 ~~~~~~~~ (ii)
$$ Дискриминант (ii)$ D = - 108 (81/64 - 1) < 0 $.

Значит уравнение (ii) имеет один действительный корень и два
комплексно-сопряженных корня. Согласно теоремы Бюдана-Фурье и следствия из него правила
(теоремы) Декарта следует, что действительный корень строго
положительный [1]. По хорошо известной формуле для корней
кубического уравнения действительый корень $ \gamma_{0} $ равен

$$ \gamma_{0} = \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \sqrt{\frac{81}{64}
- 1}} + \sqrt[3]{\frac{9}{8} - \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} =
\frac{1}{2}(\sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}}) =
2,027279411... (iii) $$ Исходя из равенств $
\frac{1}{\epsilon} = \omega $ и $ \omega_{0} =
\gamma_{0} + 1 $ получается, что $ \omega_{0} =
\frac{1}{\epsilon} = \gamma_{0} + 1 = 3,027279411...$


Из вышеизложенного вытекает, что в уравнении (***) $
\epsilon $ является иррациональным числом. $\emph{Доказательство доведено, как говорится, до числа. Дальше уж
некуда!} $ Следовательно последняя низшая ступень
бесконечного спуска уравнения (*), начиная с любого значения
$ n > 3 $, приводит к выводу, что для любого целого
$ n > 2 $ сумма $x^{n} + y^{n},$ где
$x$ и $y$ - натуральные числа, не
равна $z^{n},$ где $z$ натуральное
число.

С помощью калькулятора в инженерном режиме нетрудно вычислить приближенные значения
иррационального числа $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \beta _{0} $ в
(*) для некоторых значений показателя степени $ n > 3$. Здесь ниже
приводятся значения $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \beta _{0} $ для
$ n = 4, 5, 6, 7 $. $$ n = 4 ~~~~  \omega_{0} =   4,0606470275……   $$. $$ n = 5   ~~~~  \omega_{0} =
5,09634735462…..   $$. $$ n = 6   ~~~~  \omega_{0} =   6,133187236122…
$$. $$ n = 7   ~~~~  \omega_{0} =   7,17066879226…..   $$.

Наконец сам спуск практически нетрудно построить следующим
образом. Уравнение (*) переписывается в виде $$ (\beta +
\frac{1}{2})(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta -
\frac{1}{2})(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\epsilon^{n}}
$$ $$ \beta(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1}+
\frac{1}{2}(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - \beta(\beta -
\frac{1}{2})^{n - 1} + \frac{1}{2}(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} =
\frac{1}{\epsilon^{n}} $$ $$ \beta[(\beta +
\frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}]+
\frac{1}{2}[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta -
\frac{1}{2})^{n - 1}] = \frac{1}{\epsilon^{n}} $$ $$ (\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} =
\frac{1}{\beta \epsilon^{n}} - \frac{1}{2\beta}[(\beta +
\frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] ~~~~ (j1) $$
С другой стороны из уравнения общего вида (*) можно записать
уравнение для показателя степени $ n - 1 $
$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n-1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{\epsilon^{n-1}}
~~~~~~(j2)$$ Сравнивая уравнения (j1) и (j2), становится
ясно, что $$ \frac{1}{\beta \epsilon^{n}} - \frac{1}{2\beta}[(\beta +
\frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] =
\frac{1}{\epsilon^{n - 1}}, $$ откуда снова получаем
уравнение (j2) $$ (\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} =
\frac{1}{\epsilon^{n - 1}} $$ Далее, продолжая аналогичным
образом, спускаясь по лестнице, приходим к уравнению (***).



I. Рассмотрим однородное диофантово уравнение вида
$$x^n + y^n = z^n ,~~~~ (1)$$
при этом $x, y, z, n$ - целые , $xyz \ne 0 , n \ge 1.$
Постановка задачи - принадлежат ли решения этого уравнения кольцу целых чисел $\matbb{Z}$ при различных значениях показателя $n$ [2],[3],[4],[5],[6].
Нетрудно видеть, что уравнение (1) при $n = 1, 2$ имеет целочисленные решения. Например, при $n = 1$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 7,$ а при $n = 2$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 5$ удовлетворяют уравнению (1).
Далее утверждается, что уравнение (1) при $n > 2$ не имеет натуральных
решений $x, y, z$, т.е. $ x^n + y^n \ne z^n $.
Доказательство этой старой задачи строится от противного, что и было изложено выше.

$ ~~~~ \textbf{\underline{\emph{Расширение задачи.}}} $

II. Далее, если рассматривать (1) для всех целых
$n$, то равенство в (1) возможно только для $n
= \pm 1, \pm 2$. Легко видеть, при $n = 0$
(получается 2 = 1) равенство не выполняется.
Рассмотрим (1) с показателем степени $r = - n  <  0$.
$$X^r + Y^r = Z^r,~~~~~~~~ X, Y, Z $$ - не равные нулю целые числа.
Нетрудно видеть, что для $r = -1$ равенство имеет место, например, при четных равных друг другу $X$ и $Y,  X = Y = 2m,  Z = m,  | m | \ge 1,  m$ - целое.
При $r = -2$ и, к примеру, при $X = 20, Y = 15$ и $Z = 12$ равенство (1) выполняется.
Пусть $r < -2$, тогда (1) запишется так:
$$\frac{1}{X^n}   +  \frac{1}{Y^n} = \frac{1}{Z^n}, ~~~~~~~~ (2)$$ где $n = - r$.
Ясно, что в (2) $X > Z$ и $Y > Z$.
$$X^n + Y^n   = \frac{X^n * Y^n}{Z^n}~~~~ (3)$$
Пусть $( X * Y )/Z$ целое, тогда правая часть (3) есть $n$ - ая степень целого числа. Из доказанного выше в разделе I следует, что (3) не имеет целочисленных решений для всех значений показателя степени $n > 2$ и, следовательно, равенство (1) не выполняется для всех $r = -n < -2$, если $X, Y, Z$ - не равные нулю, целые числа.
III. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа
$x, y, z$ - рациональные, т.е. $x =
p_{x}/q_{x}, y = p_{y}/q_{y},  z = p_{z}/q_{z} $, где
$p_{x}, q_{x}, p_{y}, q_{y}, p_{z}, q_{z}$ - целые,
не равные нулю, числа.
IV. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа
$x, y, z$ - иррациональные.
V. Пусть в (1) для
всех целых $n$, числа $x, y, z$ -
комплексные, т.е. $x = \alpha_{x} + i\beta_{x}, y =
\alpha_{y} + i\beta_{y},  z = \alpha_{z} + i\beta_{z} $,
где $i = \sqrt{-1}$, а числа $\alpha_{x},
\beta_{x}, \alpha_{y}, \beta_{y}, \alpha_{z}, \beta_{z}$ -
вещественные.

Для задач III, IV, V определить условия равенства.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, изд. 9-е, 1968.

2. Эдвардс Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. -М.: МИР, 1980.

3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. -М.: Высшая школа, 1979.

4. Блинов В. Ф. Великая теорема Ферма: Исследование проблемы -М.: Изд-во ЛКИ,2008.

5. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. -М.: Наука, 1978.

6. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. -М : Мир, 2003.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение07.06.2010, 12:20 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):
Из вышеизложенного вытекает, что в уравнении (***) $\epsilon $ является иррациональным числом.

Не вытекает. Вы доказали, по существу, следующее: если выполняется уравнение
Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):
$$ 3\beta^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{\epsilon^{3}}$$

и при этом $\beta=\frac1\epsilon$, то $\epsilon$ не может быть рациональным. Ну, а если они не равны?
Дальше пока не читал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение08.06.2010, 08:44 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):
(т.е. значения функций $ L $ и $ R $ в
этой точке пересечения равны, $ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} =
R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0}  $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} =
\omega_{0} $).

Про равенство значений аргументов ничего сказать нельзя.

Это все равно, что переписать уравнение $x^n + y^n = z^n$ в виде $\alpha^n = 1 - \beta^n, \ \alpha, \beta \in \mathbb{Q}$ и применить такое же рассуждение про равенство аргументов.

P.S. Кстати, Вы смотрели, что получается в случае $n=2$ (я имею в виду, какие значения принимают Ваши ранее определенные константы)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение25.06.2010, 11:27 


12/04/09
15
$ \textbf{Бесконечный спуск}$

Для любого целого $ n > 2 $
сумма $x^{n} + y^{n},$ где $x$ и
$y$ - натуральные числа, не равна
$z^{n},$ где $z$ натуральное число.
Положим, без ограничения общности дальнейших рассуждений, что
$x > y, x = u + y, $ где $u$ -
натуральное число. Тогда сумма $x^{n} + y^{n},$
запишется в виде $ (u + y)^{n} + y^{n} = u^{n} + nu^{n -
1}y + [n(n - 1)/2]u^{n - 2}y^{2} + \ldots + nuy^{n - 1} + 2y^{n} =
y^{n}( u^{n}/y^{n} + nu^{n - 1}/y^{n - 1} + [n(n - 1)/2]u^{n -
2}/y^{n - 2} + \ldots + nu/y + 2). $ Обозначим $ w
= u/y. $ Тогда $$ x^{n} + y^{n} = (u + y)^{n} + y^{n} = y^{n}(w^{n} + nw^{n - 1} +
[n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2) \ne z^{n}. $$ Это
утверждение доказывается от противного. Предположим, что многочлен
$ y^{n}F(w) = y^{n}(w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n -
2} + \ldots + nw + 2) = z^{n} $,$ F(w) = w^{n} +
nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2 = z^{n}/y^{n}
= \alpha^{n} $ где $ \alpha - $
рациональное положительное число. $ F(w) \ge 2 $
для $ w \ge 0 $. Необходимо найти рациональное
$ w = w_{0} $, при котором $ F(w) = F(w_{0})
= \alpha^{n} $. Согласно теоремы Бюдана-Фурье и следствия
из него правила (теоремы) Декарта многочлен $ F_{\alpha}(w)
= w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2 -
\alpha^{n} $ имеет только один и притом строго
положительный корень, так как $ F_{\alpha}(w) $
имеет всего лишь одну перемену знаков в системе своих
коэффициентов [1]. Свободный член $ 2 - \alpha^{n} < 0,
\alpha
> \sqrt[n]{2} > 1 $. Подставив, в $ F_{\alpha}(w) = (w + 1)^{n} + 1 - \alpha^{n} $ значение $ w = \alpha - 1 $, получим $$ F_{\alpha}(\alpha - 1) = \alpha^{n} + 1 - \alpha^{n} = 1 > 0. $$ Затем, подставив, в $ F_{\alpha}(w) $
значение $ w = \alpha - 2 $ получим $$
F_{\alpha}(\alpha - 2) = (\alpha - 1)^{n} + 1 - \alpha^{n}.
$$ Так как $ \alpha > \sqrt[n]{2} > 1 $, то можно записать $ \alpha = 1 + \delta $, где $ \delta > 0. $ Тогда $$
F_{\alpha}(\alpha - 2) = \delta^{n} + 1 - (\delta + 1)^{n} < 0 $$.
Значит единственный положительный корень $ w_{0} $ многочлена $
F_{\alpha}(w) $, $ \alpha - 2 < w_{0} < \alpha - 1
$ не является целым числом и равен $ w_{0} = \alpha
- 1 - \epsilon $, где $ 0 < \epsilon < 1 $
и $ \epsilon $ - рационально. Подставив $
w_{0} = \alpha - 1 - \epsilon $ в $ F_{\alpha}(w) =
(w + 1)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $, получим $
F_{\alpha}(w) = F_{\alpha}(w_{0}) = (\alpha - \epsilon)^{n} + 1 -
\alpha^{n} = 0 $. Представив $ \alpha $ в
виде $ \alpha = \beta * \epsilon $, где
рациональная величина $ \beta > 1 $, и подставив в
уравнение $ F_{\alpha}(w) = F_{\alpha}(w_{0}) = (\alpha -
\epsilon)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $, получим уравнение
$ \beta^{n} - (\beta - 1)^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $. Собственно говоря, уравнение для бесконечного спуска
получено. Можно переписать это уравнение в виде $ (\beta +
1)^{n} - \beta^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $, т.е. замена
(сдвиг) $ \beta $ на $ \beta + 1 $
или в более симметричном виде $$ (\beta + \frac{1}{2})^{n}
- (\beta - \frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} ~~~~~~(*),$$ т.е. замена (сдвиг) $ \beta $ на $
\beta + \frac{1}{2}. $

$\textbf{Доказательство для n =3.}$

Рассмотрим уравнение (*) при $ n = 3 $. $$
(\beta + \frac{1}{2})^{3} - (\beta - \frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{\epsilon^{3}}
~~~~~~(**)$$ После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем
$$ 3\beta^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{\epsilon^{3}}  ~~~~~~(***)$$
Обозначим $ \frac{1}{\epsilon} =  \omega $. Далее, обозначим левую часть
(***) через $ L $, т.е. $ L = L(\beta) = 3\beta^{2} + \frac{1}{4}
$, а правую часть (***) через $ R $, т.е. $ R = R(\omega)
= \omega ^{3} $. Функция $ L = L(\beta) = 3\beta^{2} + \frac{1}{4} $ есть парабола второго порядка, две ветви которой располагаются симметрично
относительно оси ординат, $ min(L) = L(\beta_{0}) = L(0) = \frac{1}{4} $
и все значения этой функции лежат в верхней полуплоскости, а функция $ R =
R(\omega) = \omega ^{3} $ кубическая парабола. Ясно, что кривые ( графики
функций $ L $ и $ R $ ) на одной и той же плоскости
декартовых координат, где вдоль оси абсцисс, принимая одинаковые значения одновременно, изменяются аргументы $
\beta $ и $ \omega $, а вдоль оси ординат отмечаются значения
функций $ L $ и $ R $, пересекаются только в одной точке в
первом квадранте (т.е. значения функций $ L $ и $ R $ в
этой точке пересечения равны, $ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} =
R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0}  $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} =
\omega_{0} $). В точке пересечения уравнение (***) можно записать в следующем
виде:$$ \omega_{0}^{3} - 3\omega_{0}^{2} - \frac{1}{4} = 0  ~~~~~~~~ (i) $$ Сделав в (i) замену $ \omega_{0} = \gamma + 1 $, получим
уравнение $$ \gamma^{3} - 3\gamma - \frac{9}{4} = 0 ~~~~~~~~ (ii)
$$ Дискриминант (ii)$ D = - 108 (81/64 - 1) < 0 $.

Значит уравнение (ii) имеет один действительный корень и два
комплексно-сопряженных корня. Согласно теоремы Бюдана-Фурье и следствия из него правила
(теоремы) Декарта следует, что действительный корень строго
положительный [1]. По хорошо известной формуле для корней
кубического уравнения действительый корень $ \gamma_{0} $ равен

$$ \gamma_{0} = \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \sqrt{\frac{81}{64}
- 1}} + \sqrt[3]{\frac{9}{8} - \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} =
\frac{1}{2}(\sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}}) =
2,027279411... (iii) $$ Исходя из равенств $
\frac{1}{\epsilon} = \omega $ и $ \omega_{0} =
\gamma_{0} + 1 $ получается, что $ \omega_{0} =
\frac{1}{\epsilon} = \gamma_{0} + 1 = 3,027279411...$


Из вышеизложенного вытекает, что в уравнении (***) $
\epsilon $ является иррациональным числом. $\emph{Доказательство доведено, как говорится, до числа. Дальше уж
некуда!} $ Следовательно последняя низшая ступень
бесконечного спуска уравнения (*), начиная с любого значения
$ n > 3 $, приводит к выводу, что для любого целого
$ n > 2 $ сумма $x^{n} + y^{n},$ где
$x$ и $y$ - натуральные числа, не
равна $z^{n},$ где $z$ натуральное
число.

С помощью калькулятора в инженерном режиме нетрудно вычислить приближенные значения
иррационального числа $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \beta _{0} $ в
(*) для некоторых значений показателя степени $ n > 3$. Здесь ниже
приводятся значения $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \beta _{0} $ для
$ n = 4, 5, 6, 7 $. $$ n = 4 ~~~~  \omega_{0} =   4,0606470275……   $$. $$ n = 5   ~~~~  \omega_{0} =
5,09634735462…..   $$. $$ n = 6   ~~~~  \omega_{0} =   6,133187236122…
$$. $$ n = 7   ~~~~  \omega_{0} =   7,17066879226…..   $$.

Наконец сам спуск практически нетрудно построить следующим
образом. Уравнение (*) переписывается в виде $$ (\beta +
\frac{1}{2})(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta -
\frac{1}{2})(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\epsilon^{n}}
$$ $$ \beta(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1}+
\frac{1}{2}(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - \beta(\beta -
\frac{1}{2})^{n - 1} + \frac{1}{2}(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} =
\frac{1}{\epsilon^{n}} $$ $$ \beta[(\beta +
\frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}]+
\frac{1}{2}[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta -
\frac{1}{2})^{n - 1}] = \frac{1}{\epsilon^{n}} $$ $$ (\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} =
\frac{1}{\beta \epsilon^{n}} - \frac{1}{2\beta}[(\beta +
\frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] ~~~~ (j1) $$
С другой стороны из уравнения общего вида (*) можно записать
уравнение для показателя степени $ n - 1 $
$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n-1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{\epsilon^{n-1}}
~~~~~~(j2)$$ Сравнивая уравнения (j1) и (j2), становится
ясно, что $$ \frac{1}{\beta \epsilon^{n}} - \frac{1}{2\beta}[(\beta +
\frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] =
\frac{1}{\epsilon^{n - 1}}, $$ откуда снова получаем
уравнение (j2) $$ (\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} =
\frac{1}{\epsilon^{n - 1}} $$ Далее, продолжая аналогичным
образом, спускаясь по лестнице, приходим к уравнению (***).



I. Рассмотрим однородное диофантово уравнение вида
$$x^n + y^n = z^n ,~~~~ (1)$$
при этом $x, y, z, n$ - целые , $xyz \ne 0 , n \ge 1.$
Постановка задачи - принадлежат ли решения этого уравнения кольцу целых чисел $\matbb{Z}$ при различных значениях показателя $n$ [2],[3],[4],[5],[6].
Нетрудно видеть, что уравнение (1) при $n = 1, 2$ имеет целочисленные решения. Например, при $n = 1$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 7,$ а при $n = 2$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 5$ удовлетворяют уравнению (1).
Далее утверждается, что уравнение (1) при $n > 2$ не имеет натуральных
решений $x, y, z$, т.е. $ x^n + y^n \ne z^n $.
Доказательство этой старой задачи строится от противного, что и было изложено выше.

\textbf{\underline{\emph{Расширение задачи.}}}

II. Далее, если рассматривать (1) для всех целых
$n$, то равенство в (1) возможно только для $n
= \pm 1, \pm 2$. Легко видеть, при $n = 0$
(получается 2 = 1) равенство не выполняется.
Рассмотрим (1) с показателем степени $r = - n  <  0$.
$$X^r + Y^r = Z^r,~~~~~~~~ X, Y, Z $$ - не равные нулю целые числа.
Нетрудно видеть, что для $r = -1$ равенство имеет место, например, при четных равных друг другу $X$ и $Y,  X = Y = 2m,  Z = m,  | m | \ge 1,  m$ - целое.
При $r = -2$ и, к примеру, при $X = 20, Y = 15$ и $Z = 12$ равенство (1) выполняется.
Пусть $r < -2$, тогда (1) запишется так:
$$\frac{1}{X^n}   +  \frac{1}{Y^n} = \frac{1}{Z^n}, ~~~~   (2)$$ где $n = - r$.
Ясно, что в (2) $X > Z$ и $Y > Z$.
$$X^n + Y^n   = \frac{X^n * Y^n}{Z^n}~~~~ (3)$$
Пусть $( X * Y )/Z$ целое, тогда правая часть (3) есть $n$ - ая степень целого числа. Из доказанного выше в разделе I следует, что (3) не имеет целочисленных решений для всех значений показателя степени $n > 2$ и, следовательно, равенство (1) не выполняется для всех $r = -n < -2$, если $X, Y, Z$ - не равные нулю, целые числа.
III. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа
$x, y, z$ - рациональные, т.е. $x =
p_{x}/q_{x}, y = p_{y}/q_{y},  z = p_{z}/q_{z} $, где
$p_{x}, q_{x}, p_{y}, q_{y}, p_{z}, q_{z}$ - целые,
не равные нулю, числа.
IV. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа
$x, y, z$ - иррациональные.
V. Пусть в (1) для
всех целых $n$, числа $x, y, z$ -
комплексные, т.е. $x = \alpha_{x} + i\beta_{x}, y =
\alpha_{y} + i\beta_{y},  z = \alpha_{z} + i\beta_{z} $,
где $i = \sqrt{-1}$, а числа $\alpha_{x},
\beta_{x}, \alpha_{y}, \beta_{y}, \alpha_{z}, \beta_{z}$ -
вещественные.

Для задач III, IV, V определить условия равенства.



1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, изд. 9-е, 1968.

2. Эдвардс Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в
алгебраическую теорию чисел. -М.: МИР, 1980.

3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. -М.: Высшая школа,
1979.

4. Блинов В. Ф. Великая теорема Ферма: Исследование проблемы -М.: Изд-во
ЛКИ,2008.

5. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических
чисел. -М.: Наука, 1978.

6. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. -М : Мир, 2003.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение25.06.2010, 12:28 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):
Ясно, что кривые ( графики
функций $ L $ и $ R $ ) на одной и той же плоскости
декартовых координат, где вдоль оси абсцисс одновременно изменяются аргументы $ \beta $ и $ \omega $, а вдоль оси ординат отмечаются значения
функций $ L $ и $ R $, пересекаются только в одной точке в
первом квадранте (т.е. значения функций $ L $ и $ R $ в
этой точке пересечения равны, $ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} = R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0} $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} = \omega_{0} $

Вы считаете,что из того, что $\beta^2+\frac14=\omega^3$ следует $\beta=\omega$? Вот вам контрпример: $\beta=1\,\,\,\,\, \omega=\sqrt[3]{\frac{13}4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение25.06.2010, 13:08 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Леонид Вайсруб в сообщении #334931 писал(а):
Ясно, что кривые ( графики
функций $ L $ и $ R $ ) на одной и той же плоскости
декартовых координат, где вдоль оси абсцисс, принимая одинаковые значения одновременно, изменяются аргументы $
\beta $ и $ \omega $, а вдоль оси ординат отмечаются значения
функций $ L $ и $ R $, пересекаются только в одной точке...

По сравнению с первоначальным доказательством в этом измененном варианте просто добавилась фраза "принимая одинаковые значения". Почему они должны принимать одинаковые значения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение25.06.2010, 19:29 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
r-aax в сообщении #334966 писал(а):
По сравнению с первоначальным доказательством в этом измененном варианте просто добавилась фраза "принимая одинаковые значения". Почему они должны принимать одинаковые значения?

Подход тот же и список на "литературу" прежний. :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение26.06.2010, 00:55 
Аватара пользователя


23/05/10
145
Москва
Виктор Ширшов в сообщении #335155 писал(а):
r-aax в сообщении #334966 писал(а):
По сравнению с первоначальным доказательством в этом измененном варианте просто добавилась фраза "принимая одинаковые значения". Почему они должны принимать одинаковые значения?

Подход тот же и список на "литературу" прежний. :P

Доказательство для случая "если не принимают одинакового значения" отсутствует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение27.06.2010, 16:16 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):
По хорошо известной формуле для корней
кубического уравнения действительый корень $ \gamma_{0} $ равен

$$ \gamma_{0} = \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} + \sqrt[3]{\frac{9}{8} - \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} = \frac{1}{2}(\sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}}) = 2,027279411... (iii) $$ Исходя из равенств $ \frac{1}{\epsilon} = \omega $ и $ \omega_{0} = \gamma_{0} + 1 $ получается, что $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \gamma_{0} + 1 = 3,027279411...$
Из вышеизложенного вытекает, что в уравнении (***) $ \epsilon $ является иррациональным числом.

А $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ является иррациональным числом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение30.06.2010, 19:32 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):
С помощью калькулятора в инженерном режиме нетрудно вычислить приближенные значения
иррационального числа

А Ферма, наверное, вычислял значения с помощью счётных машинок (суммирующей и множительной), изготовленных за пять лет до его смерти Самюэлем Морлендом.
Леонид Вайсруб в сообщении #334931 писал(а):
V. Пусть в (1) для
всех целых $n$, числа $x, y, z$ - комплексные

По моему, расширять задачу комплексными числами - излишне, ибо они появились, вроде как благодаря Эйлеру, жившему столетием позже Ферма.

(Оффтоп)

Леонид Вайсруб. Куда Вы каждый раз пропадаете? Или работы в ВНИИнефть много?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.
Сообщение30.06.2010, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Леонид Вайсруб в сообщении #334931 писал(а):
$ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} = R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0} $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} = \omega_{0} $).

Ну это просто праздник логики!
Я щас такой методой такого наподоказываю, что все ахнут! Тока бы успеть, пока не опередили.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group