2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение системы
Сообщение23.09.2006, 21:25 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Пусть $E$ - невырожденная матрица, строками которой являются единичные вектора. Рассмотрим 4 системы уравнений $Ex=(1\ 1\ 1)^T,\ Ex=(1\ 1\ -1)^T,\ Ex=(1\ -1\ 1)^T,\ Ex=(1\ -1\ -1)^T$. Доказать, что хотя бы одно из решений $x_0$ удовлетворяет условию $||x_0||>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы
Сообщение23.09.2006, 21:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Юстас писал(а):
Пусть $E$ - невырожденная матрица, строками которой являются единичные вектора. Рассмотрим 4 системы уравнений $Ex=(1\ 1\ 1)^T,\ Ex=(1\ 1\ -1)^T,\ Ex=(1\ -1\ 1)^T,\ Ex=(1\ -1\ -1)^T$. Доказать, что хотя бы одно из решений $x_0$ удовлетворяет условию $||x_0||>1$.

Не понятно, что значит строки единичные вектора (размер думаю 3*3). Не понятно так же, что за норма в последнем случае. Думаю норма такая же как и для "единичных" векторов, только какая.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2006, 21:35 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Имеется ввиду, что $(e_{11}\ e_{12}\ e_{13}),\ (e_{21}\ e_{22}\ e_{23}),\ (e_{31}\ e_{32}\ e_{33})$- единичные вектора. Норма подразумевается сферическая, почему-то в первом сообщении не отобразилось, хотя я добавлял.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2006, 21:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Тогда, каждое уравнение есть $(e_i,x)=\pm 1, \ e_i=(e_{i,1},e_{i,2},e_{i,3}), \ x=(x_1,x_2,x_3)$. Так что достаточно одного уравнения для получения вашей оценки. Я думаю имелось в виду: $||x||\ge \sqrt 3 .$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2006, 08:19 
Заслуженный участник


01/12/05
458
На самом деле эта задача геометрически эквивалентна тому, что в пространсве всегда существует прямая, образующая равные углы с тремя заданными прямыми. Как несложно понять, таких прямых в общем случае будет хотя бы 3. Поэтому нижняя оценка нормы $x_0$ - это $\frac{1}{\min\limits_k |cos(\alpha_k)|}$, $\alpha_k$-углы, которые образует искомая прямая с тремя заданными. Единица - очевидная оценка, но мне показалось, что в такой постановке она не будет тривальной, хотя оказалось наоборот.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.09.2006, 08:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
А то, что я написал, означает, что углы не меньше 90 градусов для каждого за счёт изменения направлений основных векторов e(1),e(2),e(3).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group