2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нечётное совершенное число
Сообщение23.09.2006, 07:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Докажите, что нечётное совершеное число не делится на 105.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.09.2006, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Допустим противное $n=3^\alpha5^\beta7^\gamma m-$нечетное совершенное, $\alpha,\beta,\gamma\ge1, (m,105)=1.$
Расписываем $\sigma(n)=2n$:
$$\frac{3^{\alpha+1}-1}2\cdot\frac{5^{\beta+1}-1}4\cdot\frac{7^{\gamma+1}-1}6\cdot\sigma(m)=2n.$$
Значит, ровно один из сомножителей слева четный, причем он не делится на 4. Это сразу дает, что $\alpha$ и $\gamma$ четные, следовательно не меньше 2. Но тогда
$$\frac{\sigma(n)}{2n}=\frac{(3-3^{-\alpha})(5-5^{-\beta})(7-7^{-\gamma})}{96}\frac{\sigma(m)}m\ge\frac{(3-3^{-2})(5-5^{-1})(7-7^{-2})}{96}>1$$, если не врет калькулятор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group